Cтраница 1
Отделимое топологическое векторное пространство нормируемо, если его топология совместима с нек-рой нормой. [1]
Всякое отделимое топологическое векторное пространство, топология которого определяется счетным множеством полунорм, метризуемо. Оно называется локально выпуклым метризуемым пространством. [2]
Для конечномерности отделимого топологического векторного пространства Е необходимо и достаточно, чтобы в Е существовала предкомпактная окрестность нуля. [3]
Всякое конечномерное подпространство отделимого топологического векторного пространства замкнуто. [4]
Всякое линейное отображение конечномерного отделимого топологического векторного пространства непрерывно. [5]
Критерий Колмогорова ( см. Колмогоров [1]) состоит в следующем: отделимое топологическое векторное пространство Е нормируемо тогда и только тогда, когда в Е существует хотя бы одно ограниченное открытое выпуклое множество. [6]
В настоящем пункте мы докажем, что имеется единственный способ превратить конечномерное векторное пространство в отделимое топологическое векторное пространство. [7]
В этом параграфе предполагается, что К, R или С. С, через Е - произведение пространств Е ( и через F - локально выпуклое отделимое топологическое векторное пространство над / С. [8]
Действительно, рассмотрим отделимое топологическое векторное пространство 5 ( 0, оо), состоящее из всех измеримых функций, определенных на полуоси с топологией сходимости по мере ( см. [6], гл. [9]
Это означает, что Т - группа в алгебраическом смысле и, кроме того, топологическое пространство, причем эти две структуры связаны так, что отображение ( /, t) - t - lt произведения ТхТ в Т непрерывно. Будем предполагать также, что пространство Т отделимо. К топологическим группам относятся все конечные группы; всякая группа может быть наделена дискретной топологией, относительно которой она будет отделимой локально компактной топологической группой. Всякое отделимое топологическое векторное пространство является, конечно, топологической группой, если не принимать во внимание умножение на скаляры; эта топологическая группа коммутативна ( абелева); она локально компактна тогда и только тогда, когда рассматриваемое пространство конечномерно. [10]