Cтраница 1
Вполне ограниченные пространства часто называются также условно компактными. Если они являются подмножествами некоторых метрических пространств и имеют в них компактные замыкания, то они называются предкомпактными. [1]
Вполне ограниченные пространства являются весьма распространенными. Например, как нетрудно проверить, любое ограниченное подмножество конечномерного евклидова пространства является в евклидовой метрике вполне ограниченным. Как подмножество объемлющего евклидова пространства, оно, очевидно, является предкомпактным. [2]
В том случае, когда вполне ограниченное пространство является также полным, эта последовательность имеет предельную точку х, которая обязательно принадлежит некоторому множеству 0JO из счетного открытого покрытия пространства. [3]
Пусть ( X, р) - вполне ограниченное пространство; тогда для любого подмножества М с: X пространство ( М, р) вполне ограничено. [4]
Из а и в следует, что открытое покрытие вполне ограниченного пространства содержит счетное покрытие О - пространства. [5]
Покажите, что если ( X, р) - вполне ограниченное пространство, то для каждой изометрии /: Х - Х образ f ( X) всюду плотен в X ( ср. [6]
Покажите, что если ( X, р) - вполне ограниченное пространство, то любое отображение / пространства X в себя, удовлетворяющее условию р ( х, у) p ( f ( x), / ( /)) при всех х, / е X, является изометрией ( ср. [7]
Покажите, что если ( X, р) - вполне ограниченное пространство, то каждое отображение / пространства X в себя, удовлетворяющее условию р ( х, у) р ( / ( х), f ( y)) для всех х, у Х и такое, что f ( X) всюду плотно в X, является изометрией. [8]
Замечание, сделанное в начале этого параграфа в связи с вполне ограниченными пространствами и пространствами, мет-ризуемыми вполне ограниченными метриками, применимо к полным метрическим и метризуемым полной метрикой пространствам. [9]
Прежде чем перейти к рассмотрению частных случаев, напомним, что дает формула Грина по отношению к функциям, которые во вполне ограниченном пространстве удовлетворяют этому дифференциальному уравнению и вместе со своими первыми производными однозначны и непрерывны. [10]
Пополнение метрического пространства ( X, р) есть компакт в том и только том случае, если ( X, р) - вполне ограниченное пространство. [11]
Доказанная теорема выявляет однотипность понятия полной ограниченности пространства и его компактности: в компактном пространстве из любой последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность, а во вполне ограниченном пространстве - лишь сходящуюся в себе подпоследовательность. Очевидно, всякое компактное пространство является вполне ограниченным. [12]
В своем сочинении: Allgemeine Lehrsatze in Beziehung auf die im verkehrten Verhaltnisfe des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs - und Abstossungs-Kraf - te Гаусс установил теорему, что для вполне ограниченного пространства всегда имеется функция, непрерывная и однозначная со своими первыми производными, которая удовлетворяет уравнению Дф0 и принимает на поверхности любые данные значения. Аналогичным способом можно доказать изложенное выше. Однако относительно полной строгости доказательства возникли сомнения; эти же сомнения могут появиться прн другом доказательстве. [13]
А) Же ( А) и ЖЕ ( А) получает непосредственный смысл энтропии. Любое метрическое вполне ограниченное пространство А может быть погружено в центрируемое пространство R. Практический смысл этого утверждения, впрочем, не вполне ясен, кроме тех случаев, когда реально требуемая точность воспроизведения х ЕЕ А. [14]