Cтраница 1
Полное отделимое равномерное пространство X, определенное при доказательстве теоремы 3, называется отделимым пополнением пространства X, а отображение i: X-X - каноническим отображением пространства X в его отделимое пополнение. [1]
Y - полное отделимое равномерное пространство и Н - равностепенно непрерывное ( соотв. Предположим, что П ( х) относительно компактно в Y для каждой т-очки х из всюду плотного подмножества D пространства Х - Тогда Н относительно компактно в ft ( X Y), наделенном топологией компактной ( соотв. [2]
Пусть Е - полное отделимое равномерное пространство и А - всюду плотное подмножество компактного пространства Е; для того чтобы непрерывное отображение /: А - Е можно было продолжить по непрерывности на Е, необходимо и достаточно, чтобы / было равномерно непрерывно. [3]
Пусть XL и Х2 - полные отделимые равномерные пространства, a Yt и Y % - их всюду плотные подпространства. [4]
Пусть X - топологическое пространстпо, У - полное отделимое равномерное пространство и ф - равномерно непрерывный гомеоморфизм пространства У на открытое подмножество ф ( У) отделимого равномерного пространства У. [5]
Пусть Е - равномерное пространство, а Е - полное отделимое равномерное пространство; если А - всюду плотное множество в Е, то всякое его равномерно непрерывное отображение в Е может быть продолжено по непрерывности на, причем продолженное отображение равномерно непрерывно на Е ( гл. [6]
Пусть А - всюду плотное подпространство компактного пространства X uf - отображение А в полное отделимое равномерное пространство X; для того чтобы f продолжалось по непрерывности на все X, необходимо и достаточно, чтобы f было равномерно непрерывно. [7]
Пусть / - функция, определенная на всюду плотном подпространстве А равномерного пространства X, принимающая значения в полном отделимом равномерном пространстве X и равномерно непрерывная на А. Тогда f может быть продолжена по непрерывности на все X, причем продолженная функция / равномерно непрерывна. [8]
Первое утверждение теоремы означает еще, что пара ( i, X) есть решение проблемы универсального отображения ( Теор. IV, § 3, п 1), в которой за Е - множества приняты все полные отделимые равномерные пространства, за о-морфизмы - все равномерно непрерывные отображения и за а-отображения - все равномерно непрерывные отображения пространства X в полные отделимые равномерные пространства. [9]
I, § 8, теорема 1) можно существенно дополнить, когда речь идет о функциях, принимающих значения из полного отделимого равномерного пространства. [10]
Первое утверждение теоремы означает еще, что пара ( i, X) есть решение проблемы универсального отображения ( Теор. IV, § 3, п 1), в которой за Е - множества приняты все полные отделимые равномерные пространства, за о-морфизмы - все равномерно непрерывные отображения и за а-отображения - все равномерно непрерывные отображения пространства X в полные отделимые равномерные пространства. [11]