Cтраница 1
Полное бесконечномерное нормированное пространство называется Санаховым пространством по имени Банаха. Полные бесконечномерные евклидовы пространства называются гильбертовыми пространствами по имени Гильберта. [1]
В бесконечномерном нормированном пространстве любое компактное множество нигде не плотно. [2]
Единичный шар бесконечномерного нормированного пространства R не является предком-пактным множеством. [3]
Докажем, ч-в бесконечномерном нормированном пространстве X едини ный шар В не является предкомпактиым множеством. [4]
Линейный ограниченный оператор, отображающий бесконечномерное нормированное пространство X в конечномерное нормированное пространство Yn, называется конечномерным. Так как в конечномерном пространстве любое ограниченное множество предкомпактно, конечномерные операторы являются компактными. [5]
Теорема Рисса о некомпактности шаров в бесконечномерных нормированных пространствах ( / 2.566), доказанная для вещественных пространств, тем самым верна и для комплексных пространств. [6]
Как будет показано в конце параграфа, операторы в бесконечномерных нормированных пространствах могут быть неограниченными. Однако и в бесконечномерных нормированных пространствах линейные операторы обладают дополнительными свойствами по сравнению с произвольными отображениями. [7]
Рефлексивное банахово пространство секвенциально полно в слабой топологии, ( ii) Пусть X - бесконечномерное нормированное пространство. Кроме того, пространство X не является полным в - слабой топологии. [8]
Оказывается, что совершенные пространства обладают рядом замечательных свойств, которые, естественно, не имеют и не могут иметь места в бесконечномерных нормированных пространствах. Так, в совершенном пространстве сильная сходимость совпадает со слабой; ограниченные множества в пространстве Ф7, сопряженном к совершенному пространству Ф, также компактны и слабая сходимость в пространстве Ф7 совпадает с сильной сходимостью. [9]
Всякий компактный оператор непрерывен. Однако в бесконечномерном нормированном пространстве Е единичный шар не является относительно компактным множеством, поэтому не всякий непрерывный линейный оператор компактен. [10]
Всякий компактный оператор непрерывен. Однако в бесконечномерном нормированном пространстве Е единичный шар не является относительно компактным множеством, поэтому не всякий непрерывный линейный оператор компактен. В частности, единичный оператор 1Е не компактен. Многие интегральные операторы компактны ( см. разд. [11]
Как будет показано в конце параграфа, операторы в бесконечномерных нормированных пространствах могут быть неограниченными. Однако и в бесконечномерных нормированных пространствах линейные операторы обладают дополнительными свойствами по сравнению с произвольными отображениями. [12]
Значения линейных функционалов в R являются координатами точки х в некоторой системе координат. Поэтому можно считать, что введение сопряженного X к бесконечномерному нормированному пространству X аналогично введению координат в геометрическом пространстве. [13]
Наяример, оператор оупврпозиция, непрерывный по овоим аргументам, вполне непрерывен, если пространство, в котором он действует, является монтелевшй ( см. § 4 гл. О) т.е. всякое его ограниченное множество предкомпактно. Загетии, что в оилу теоремы 0 4.1 бесконечномерное нормированное пространство этим свойством дб обладает. [14]