Cтраница 4
Окончательно мы получаем, что через каждую точку отрезка APi, включая его концы, и через каждую точку отрезка RiD, без точки RI, проходит единственная прямая, делящая пополам периметр треугольника ] через каждую точку отрезка P R ( исключая его концы ] проходят три такие прямые ] наконец, через точку RI проходят две такие прямые. [46]
Аффинной плоскостью называется множество элементов, именуемых точками, и система его подмножеств, называемых прямыми, если выполняюгся следующие аксиомы соединения: 1) две любые различные точки определяют единственную прямую, проходящую через них; 2) для любой прямой и любой точки существует единственная прямая, проходящая через эту точку и параллельная прямой; 3) существуют по крайней мере три неколлинеарные точки. [47]
Заметим, что хотя последнее утверждение формально совпадает с соответствующим утверждением в аффинной геометрии, его геометрическое содержание шире: оно содержит не только утверждение через любые две различные точки аффинной плоскости проходит единственная прямая, но и утверждение через любую точку аффинной плоскости проходит единственная пря - мая, параллельная данной прямой. Более того, оно не исчерпывается даже этими двумя утверждениями, поскольку в нем не исключен случай, когда обе данные точки несобственные - случай, аффинными формулировками не охватываемый. Все же, если отвлечься от такого рода исключительных случаев, можно сказать, что каждое утверждение геометрии расширенной плоскости эквивалентно нескольким ( вообще говоря, многим) утверждениям аффинной геометрии. Внутреннее родство этих утверждений, проявляющееся в геометрии расширенной плоскости, остается в аффинной геометрии скрытым. [48]