Cтраница 1
Псевдокомпактность не конечно мультипликативна. [1]
Покажите, что псевдокомпактность наследуется каноническими замкнутыми множествами. [2]
Как показано ниже в примере 3.10.29, псевдокомпактность не наследуется, вообще говоря, замкнутыми подпространствами. Так как, очевидно, псевдокомпактность наследуется открыто-замкнутыми подпространствами, из теоремы 3.7.29 следует, что псевдокомпактность не сохраняется ( вообще говоря) в сторону прообраза совершенными отображениями даже в классе тихоновских пространств ( см. упр. [3]
Хотя различить эти понятия нелегко - для нормальных пространств счетная компактность равносильна псевдокомпактности, - эти понятия, как выяснилось, разделяет пропасть: если счетная компактность наследуется замкнутыми подпространствами, то каждое тихоновское пространство вкладывается в качестве замкнутого подпространства в псевдокомпактное пространство. Всестороннему изучению были подвергнуты нормальность и свойство Линделефа, в частности, был построен пример нормального не счетно паракомпактного пространства. Много тонких исследований было посвящено свойствам типа полноты: полноте по Чеху, полноте по Хьюитту, полноте по Дьедонне и др. Были введены и продемонстрировали свое важное значение - для создания единой классификации топологических пространств - новые классы пространств и отображений: перистые, кружевные пространства, линделефовы 2-пространства, псевдооткрытые, бифакторные отображения. [4]
Заметьте, что на множестве полных по Дьедонне пространств компактность, счетная компактность и псевдокомпактность эквивалентны. [5]
Псевдокомпактные пространства были определены Хьюит-том в [1948]; в этой его статье были доказаны теоремы 3.10.20 и 3.10.21. Эквивалентность псевдокомпактности условиям ( ii), ( Hi) и ( iv) теоремы 3.10.22 была замечена Гликсбергом в [1952], Керстаном в [1957] и Ю. М. Смирновым в [1954] соответственно. [6]
Как показано ниже в примере 3.10.29, псевдокомпактность не наследуется, вообще говоря, замкнутыми подпространствами. Так как, очевидно, псевдокомпактность наследуется открыто-замкнутыми подпространствами, из теоремы 3.7.29 следует, что псевдокомпактность не сохраняется ( вообще говоря) в сторону прообраза совершенными отображениями даже в классе тихоновских пространств ( см. упр. [7]
Этот пример показывает, что псевдокомпактное пространство не обязано быть счетно компактным и что псевдокомпактность не всегда наследуется замкнутыми подпространствами. [8]
Как показано ниже в примере 3.10.29, псевдокомпактность не наследуется, вообще говоря, замкнутыми подпространствами. Так как, очевидно, псевдокомпактность наследуется открыто-замкнутыми подпространствами, из теоремы 3.7.29 следует, что псевдокомпактность не сохраняется ( вообще говоря) в сторону прообраза совершенными отображениями даже в классе тихоновских пространств ( см. упр. [9]
Другой полезный подход к определению полноты вполне регулярного хаусдорфова пространства связан с рассмотрением максимальной равномерной структуры на нем: если такое равномерное пространство полно, то топологич. Полны по Дьедоняе в точности те пространства, к-рые гомеоморфны замкнутым подпространствам тонологич. В присутствии полноты по Дьедонне в одно свойство сливаются псевдокомпактность, счетная компактность и бикомиактность. Все нараком-пакты полны но Дьедонне, в частности полны по Дьедонне все метрич. Отсюда видно, что из полноты по Дьедонне не следует наличие у пространства свойства Бэра. [10]