Cтраница 1
Пучок эллиптических кривых на поверхности типа, КЗ не имеет кратных компонент. [1]
Алгебраическую поверхность мы будем называть сильно эллиптической, если на ней имеется пучок эллиптических кривых с сечением. [2]
Отображение ( ж, у, z) - z определяет на этой поверхности пучок эллиптических кривых. Отображение ( si yi 3i) - ( EIу2, t / i, 21 у3) не является морфизмом в бесконечно удаленных точках слоев, расположенных нау 0иу: оо. После ет-процессов в этих точках мы получаем гладкую поверхность X и ее морфизм /: X - X, причем слои X над точками у 0 и у оо имеют вид С L, где L Р1, а морфизм / стягивает кривые С в точки. [3]
V имеет пучок эллиптических кривых, трансверсальных слоям расслоения тг: V - В. Легко видеть, однако, что на V имеется эллиптическая кривая, отличная от слоев расслоения тг, только если V не имеет кратных слоев. Действительно, пусть L такая кривая. Так как база В является, как и L, эллиптической кривой, то проекция тг определяет на L структуру неразветвленного накрытия В. [4]
Если А - приводимое абелево многообразие и С - эллиптическая кривая, содержащаяся в Л, то гомоморфизм А - А С определяет расслоение на эллиптические кривые. Это расслоение определяет пучок эллиптических кривых на соответствующей специальной куммеровой поверхности. [5]
В различных частных случаях этот вопрос давно рассматривался в связи с теорией алгебраических поверхностей. Именно, если предположить, что главное однородное пространство одномерно, то его можно интерпретировать как алгебраическую поверхность над полем fco, содержащую пучок эллиптических кривых. Исследованию таких поверхностей ( точнее, содержащихся в них пучков) посвящен ряд работ. [6]
Такая поверхность X получается из абелева многообразия Л, в котором задано расслоение на эллиптические кривые А - С, где С - эллиптическая кривая. Тем самым на X, как мы видели в § 4, тоже определяется пучок эллиптических кривых. [7]
Рассмотрим на X куммеров пучок. Пусть а - соответствующий куммеров вектор. Следовательно, по лемме 1 § 3 в классе ф ( а) содержится неприводимая эллиптическая кривая и, значит, ф ( а) определяет пучок эллиптических кривых. Из теоремы 1 § 4 следует, что этот куммеров пучок и, значит, X1 является специальной куммеровой поверхностью. Таким образом, первое утверждение нашей теоремы доказано. [8]
Каждый пучок эллиптических кривых на плоскости бирациональным преобразованием плоскости может быть преобразован в А. [9]
Согласно теореме 1 из § 6, существует такой автоморфизм ( р Е Г ( 5х), что ф ( х) удовлетворяет условиям предложения. Поэтому класс р ( ж) содержит дивизор гаС, где С - эллиптическая кривая. Согласно лемме 1, / ( С) - 2 и, значит, система С определяет рациональное отображение /: X - Рп. Оно будет морфизмом, так как С2 0 и поэтому система не имеет базисных точек. Морфизм / и определяет пучок эллиптических кривых, содержащих С. [10]