Cтраница 2
Этот результат можно выразить и иначе, а именно: пусть х - единичные попарно ортогональные векторы. [16]
Теорема 26.8. Всякое аффинное преобразование пространства Е - есть композиция п сжатий параллельно п попарно ортогональным векторам и движения. [17]
Установим теперь необходимое и достаточное условие, при котором ряд ( 250), составленный из попарно ортогональных векторов, будет сходящимся. [18]
Отсюда, как мы знаем, следует сходимость ряда ( 273), ибо fc суть единичные попарно ортогональные векторы. [19]
Итак, произвольное аффинное преобразование f пространства Е есть композиция fsf2f, где f, - композиция п сжатий параллельно попарно ортогональным векторам ( 2); f2 - движение, удовлетворяющее условию ( 3); / з - параллельный перенос. [20]
Следовательно, для любого вектора имеет место и уравнение замкнутости. Окончательный результат формулируется так: для того чтобы единичные, попарно ортогональные векторы л: образовывали полную ( замкнутую) систему, необходимо и достаточно, чтобы сумма квадратов модулей элементов каждой строки матрицы ( 263) была равна единице. [21]
Пополним L в метрике, порождаемой этим скалярным произведением. Это пространство несепарабельно, так как в нем имеется континуум попарно ортогональных векторов. [22]
В трехмерном пространстве любые три вектора, не лежащие в одной плоскости, линейно независимы, но геометрия относительного расположения векторов носит довольно сложный характер. С точки зрения геометрии гораздо более простым является случай, когда система состоит из трех попарно ортогональных векторов единичной длины. Вполне возможно, что при решении каких-то математических задач предпочтение следует отдавать не каким-нибудь более удобным в том или ином смысле системам векторов. Разумеется, с алгебраической точки зрения вопрос о том, какая из линейно независимых систем лучше, лишен смысла. [23]
Выберем в каждом подпространстве ортонормированный базис и рассмотрим систему векторов, представляющую собой объединение базисов всех подпространств. Ясно, что каждый вектор из ортогональной суммы линейно выражается через векторы построенной системы. Но эта система линейно независима, так как состоит из ненулевых попарно ортогональных векторов. [24]
Заметим при этом, что мы, конечно, говорим только о таких решениях xk, которые обладают сходящейся суммой квадратов модулей. Покажем теперь, что формула ( 273) действительно дает решение задачи. По условию заданные числа х ь таковы, что ряд из квадратов их модулей сходится. Отсюда, как мы знаем, следует сходимость ряда ( 273), ибо tt ( fe) суть единичные попарно ортогональные векторы. [25]