Cтраница 1
Собственные векторы гамильтониана ( 7.10.1 %) также могут быть приведены в явном виде. К - мы сначала замечаем, что К имеет стандартное действие ( см. примечание на стр. [1]
Таким образом собственный вектор гамильтониана в начальный момент времени / 0 остается собственным вектором Я и в другие моменты времени и лишь умножается на гармонический фазовый множитель. Само же состояние, следовательно, вовсе не меняется. [2]
Следовательно, можно будет искать собственные векторы гамильтониана ( 126) в виде прямого произведения собственных векторов гамильтонианов Я ( Г и / irei и, значит, собственные волновые функции Ч К, г) в виде произведений xtf ( R) ( r) собственных функций каждого из гамильтонианов. [3]
Задача нахождения собственных значений и собственных векторов гамильтониана / / (7.10.196) решается, таким образом, полностью на основе изложенных выше результатов. Непосредственное применение этих результатов к конкретным сферическим волчковым молекулам для значений п, которые не малы, необходимо проводить осторожно, так как нельзя всегда быть уверенным, что возмущение правильно учтено. Даже когда собственные значения энергии (7.10.202) являются в первом порядке хорошими приближениями, эти значения недостаточно точные, чтобы давать согласие с современными экспериментальными спектрами высокого разрешения, и должны быть приняты во внимание поправки более высоких порядков. [4]
Таким образом, последовательное применение оператора а порождает бесконечную последовательность собственных векторов гамильтониана с возрастающими собственными значениями энергии. Многократное применение оператора уничтожения а, напротив, должно приводить лишь к конечной последовательности собственных векторов ввиду ограниченности спектра снизу. [5]
В дискретном энергетическом представлении все операторы являются эрмитовыми матрицами размерности, равной числу собственных векторов гамильтониана и могут быть бесконечными матрицами. [6]
В уравнении (1.6) вектор состояния)) представлен в виде суммы членов, содержащих собственные векторы гамильтониана. Иногда для такого представления я з) полезно взять собственные векторы другого оператора, например оператора импульса. Данная система функций, которая используется для разложения, называется системой базисных векторов. В общем случае в качестве базисных векторов выбирают ортонормированные функции, так как это упрощает большинство математических операций. [7]
Полезно получить дифференциальные уравнения для матричных элементов р, используя в качестве базисных векторов собственные векторы невозмущенного гамильтониана среды 3 / вй. Пусть гамильтониан имеет вид Ж 5 0 5 ь где 3 0 uh E: i uh) и 3 - оператор энергии взаимодействия между средой и возмущением. [8]
Полезно получить дифференциальные уравнения для матричных элементов р, используя в качестве базисных векторов собственные векторы невозмущенного гамильтониана среды У а. Пусть гамильтониан имеет вид Ж 5 0 Ж, где 5 0 fe) Eh uk и 36 - оператор энергии взаимодействия между средой и возмущением. [9]
В уравнении (1.6) вектор состояния т з) представлен в виде суммы членов, содержащих собственные векторы гамильтониана. Иногда для такого представления ф) полезно взять собственные векторы другого оператора, например оператора импульса. Данная система функций, которая используется для разложения, называется системой базисных векторов. В общем случае в качестве базисных векторов выбирают ортонормированные функции, так как это упрощает большинство математических операций. [10]
Следовательно, можно будет искать собственные векторы гамильтониана ( 126) в виде прямого произведения собственных векторов гамильтонианов Я ( Г и / irei и, значит, собственные волновые функции Ч К, г) в виде произведений xtf ( R) ( r) собственных функций каждого из гамильтонианов. [11]
Заметим еще, что из того установленного выше факта, что выражение ( 23), описывающее физическое состояние мезон - f - нуклон, является собственным вектором гамильтониана, непосредственно следует отсутствие рассеяния мезона на нуклоне в рассматриваемой модели. [12]
В настоящей работе был на примере нелинейного уравнения Шредингера развит новый метод точного квантования вполне интегрируемых теоретико-полевых моделей. Этот метод позволил не только воспроизвести известные для квантового нелинейного уравнения Шредингера результаты, полученные ранее с помощью подстановки Бете, но и получить ряд новых результатов, а именно, построить производящую функцию квантовых интегралов движения и операторы рождения-уничтожения элементарных возбуждений. По сравнению с методом подстановки Бете наш метод обладает тем преимуществом, что он позволяет строить и исследовать собственные векторы гамильтониана чисто алгебраическим путем, не выписывая явно соответствующие волновые функции в координатном представлении. [13]