Cтраница 1
Радиус круга сходимости R называют радиусом сходимости степенного ряда. [1]
Радиус R круга сходимости называется радиусом сходимости. [2]
Радиус круга сходимости R называют радиусом сходимости степенного ряда. [3]
Радиус R круга сходимости комплексного степенного ряда называется радиусом сходимости этого ряда. [4]
Если радиус круга сходимости с центром в начале равен R и если действительная точка R является регулярной для / ( z), то многочлены An [ f ( x) сходя. [5]
Для определения радиуса круга сходимости используется либо признак Даламбера, либо признак Коши. [6]
Из теоремы 3.3 следует, что радиус круга сходимости степенного ряда определяется расстоянием от центра сходимости до ближайшей особой точки той аналитической функции, к которой сходится данный ряд. [7]
Этот предельный переход всегда можно осуществить но радиусу: на всем радиусе круга сходимости, соединяющем точки Ъ и z0, ряд () будет сходиться равномерно. Эта теорема используется, в частности, для вычисления суммы степенного ряда, сходящегося в точках на границе круга сходимости. [8]
Методы, рассматриваемые в этой работе, можно разбить на четыре категории в зависимости от радиуса круга сходимости ряда A ( z): 1) радиус сходимости равен нулю, 2) граница круга содержит незначительное количество устранимых особенностей, 3) функция целая ( A ( z) сходится всюду) и 4) функция ведет себя плохо на границе круга сходимости. Когда радиус сходимости равен нулю, нельзя воспользоваться методами теории функций комплексной переменной, однако существуют полезные результаты. Если особенности на границе круга сходимости являются хорошими, можно применить разнообразные приемы. В этом случае особенно удобна специальная форма теоремы Дарбу, которая обычно дает весьма удовлетворительные результаты. Этого вместе с некоторыми сведениями о неявных функциях вполне достаточно для исследования многих функциональных уравнений. Теорема Хеймана [26] полезна в случае целых функций. Последний случай было бы чрезвычайно трудно рассматривать в какой бы то ни было степени общности. Здесь обсуждаются две теоремы, которые автор считает особенно полезными. Для развития новых методов, предназначенных для асимптотических перечислений, нужны новые исследования. Как уже отмечалось, чтобы получить асимптотики из рекуррентных соотношений, требуется некоторая техника. [9]
Если коэффициенты степенного ряда - вещественные числа ( как в приведенных примерах), то ясно, что радиус R круга сходимости на комплексной плоскости совпадает с прежним радиусом промежутка сходимости на вещественной оси. [10]
Как известно, степенной ряд сходится в некотором круге - круге сходимости. Радиус круга сходимости равен расстоянию от точки, относительно которой идет разложение в ряд, до ближайшей особой точки разлагаемой функции. Интеграл, представ ляющий ( одностороннее) преобразование Лапласа, вообще говоря, сходится в полуплоскости комплексной плоскости, лежащей справа от некоторой прямой, параллельной мнимой оси. Ясно, что на прямой, являющейся границей сходимости интеграла, обязательно лежит особая точка преобразования как функции комплексного аргумента. Часто функцию можно аналитически продолжить, иногда на все точки комплексной плоскости, кроме некоторых, особых. [11]
Таким образом, ряд сходится абсолютно внутри круга радиуса R с центром в точке z 0 и расходится вне его. Этот круг называется кругом сходимости степенного ряда. Радиус круга сходимости называется радиусом сходимости степенного ряда. [12]
Выбирая различные точки ZQ, можно получить для одной и той же функции сколько угодно различных рядов Тейлора. В теории аналитических функций доказывается, что область комплексной плоскости, в которой ряд Тейлора сходится, представляет собой внутренность круга с центром в точке ZQ. Этот круг называется кругом сходимости. Поэтому очень важно уметь вычислять радиус круга сходимости. [13]
В вещественной области роль круга сходимости играет интервал, во всех точках которого ряд Тейлора сходится. Этот интервал называется областью сходимости. Мало того, что нужно вычислить все производные рассматриваемой функции, привлечь подходящий признак сходимости степенных рядов, нужно еще проверить, что сумма равна исходной функции. В комплексной области эта же задача решается до смешного просто. Радиус круга сходимости равен расстоянию от точки ZQ до ближайшей точки, в которой функция не имеет производной. Покажем, как это делается. [14]
В вещественной области роль круга сходимости играет интервал, во всех точках которого ряд Тейлора сходится. Этот интервал называется областью сходимости. Мало того, что нужно вычислить все производные рассматриваемой функции, привлечь подходящий признак сходимости степенных рядов, нужно еще проверить, что сумма равна исходной функции. В комплексной области эта же задача решается до смешного просто. Радиус круга сходимости равен расстоянию от точки ZQ до ближайшей точки, в которой функция не имеет производной. Покажем, как это делается. Выбранная функция аналитична во всех точках комплексной плоскости за исключением двух точек, z г, в которых знаменатель обращается в нуль. Интересующий нас радиус круга сходимости равен расстоянию от точки ZQ до любой из точек г, то есть корню квадратному из пяти. Если нас интересует только область сходимости ряда Тейлора, то она представляет собой тот интервал вещественной оси, который размещается внутри круга сходимости. [15]