Cтраница 1
Разбиение квадратов и кубов на конечное число квадратов и кубов, среди которых нет равных. Разбиение квадрата возможно бесконечным множеством различных способов ( простейший из них очень сложен); разбиение куба невозможно. [1]
Способ разбиения квадратов, построенных на катетах, ясен из рис. 19, в котором учтено предложение Нильсена, касающееся этого доказательства. Что касается разбиения квадрата, построенного на гипотенузе, то нужно лишь иметь в виду, что часть 3 получается следующим образом: на стороне квадрата, построенного на гипотенузе, откладывается гипотенуза прямоугольного треугольника 5, фигурирующего в разбиении квадрата, построенного на большом катете. [2]
Рассмотрим для произвольного п разбиение квадрата [ О, 1 ] X [0,1] на 4п замкнутых квадратов п-го ранга. Тогда tt является точкой f - го отрезка n - го ранга, соответствующего / - му квадрату п-го ранга, причем все tt попарно различны. Для этого возьмем разбиение квадрата [ О, 1 ] X X [ О, 1 ] на замкнутые квадраты ( п - 1) - го ранга и рассмотрим / - и квадрат ( п - 1) - го ранга. В силу построения, составляющие его квадраты п-го ранга будут занумерованы числами 4 / - 3, 4 / - 2, 4 / - 1, 4 / и квадраты с соседними номерами имеют общую сторону. Ясно, что из них хотя бы два квадрата с соседними номерами имеют общую вертикальную сторону. [3]
Доказательство существования сколь угодно большого числа разбиений квадрата на попарно неравные квадраты, удовлетворяющих высказанному условию, мы проведем в два этапа. [4]
Отсюда уже легко следует существование бесконечного числа разбиений квадрата на попарно различные квадраты. [5]
ВК, ML и М / С Отсюда видео, что наша задача сводится к задаче о разбиении квадрата ABCD на три части возможно меньшего диаметра ( см. решение задачи 103 6 и, в частности, рис. 185 6 на стр. [6]
Если же заменить равные круги равными треугольниками, то утверждение задачи а) теряет силу - можно указать такие треугольники, что разбиение квадрата на выпуклые многоугольные части, каждая из которых содержит в точности один треугольник, становится невозможным. [7]
Пусть П есть замкнутый квадрат, содержащий компакт G. Разбиение квадрата П порождает разбиение Т компакта G. Если малый квадрат со стороной h целиком лежит внутри компакта G, то он является элементом разбиения Т, а если малый квадрат содержит граничные точки G, то соответствующим элементом разбиения является пересечение этого квадрата с компактом G. Из леммы 4 следует, что при написании интегральных сумм можно учитывать только слагаемые, соответствующие целым квадратам и их образам при отображении F. [8]
Разбиение квадратов и кубов на конечное число квадратов и кубов, среди которых нет равных. Разбиение квадрата возможно бесконечным множеством различных способов ( простейший из них очень сложен); разбиение куба невозможно. [9]
Способ разбиения квадратов, построенных на катетах, ясен из рис. 19, в котором учтено предложение Нильсена, касающееся этого доказательства. Что касается разбиения квадрата, построенного на гипотенузе, то нужно лишь иметь в виду, что часть 3 получается следующим образом: на стороне квадрата, построенного на гипотенузе, откладывается гипотенуза прямоугольного треугольника 5, фигурирующего в разбиении квадрата, построенного на большом катете. [10]
Однако экономичность итерационных методов в первую очередь оденивается временем, необходимым для получения решения с заданной точностью, и, следовательно, определяется скоростью сходимости итерационного процесса и числом арифметических действий на каждой итерации. При решении эллиптического уравнения с постоянными коэффициентами ( уравнения Лапласа), используя теоретические оценки числа арифметических действий и скорости сходимости, нетрудно показать, что неявные методы переменных направлений становятся экономичнее лишь при разбиении квадрата более чем на 30 X 30 ячеек. Эта оценка подтверждается численными экспериментами на ЭВМ. Преимущества метода верхней релаксации возрастают при переходе к областям более сложной формы при переменных коэффициентах или анизотропных средах. Так, для прямоугольника 50 х 20 ячеек продолжительность расчета методом переменных направлений примерно в 1 4 раза больше, чем методом верхней релаксации, а для 50 X 50 -в 1 2 раза. [11]
Способ разбиения квадратов, построенных на катетах, ясен из рис. 19, в котором учтено предложение Нильсена, касающееся этого доказательства. Что касается разбиения квадрата, построенного на гипотенузе, то нужно лишь иметь в виду, что часть 3 получается следующим образом: на стороне квадрата, построенного на гипотенузе, откладывается гипотенуза прямоугольного треугольника 5, фигурирующего в разбиении квадрата, построенного на большом катете. [12]
Рассмотрим для произвольного п разбиение квадрата [ О, 1 ] X [0,1] на 4п замкнутых квадратов п-го ранга. Тогда tt является точкой f - го отрезка n - го ранга, соответствующего / - му квадрату п-го ранга, причем все tt попарно различны. Для этого возьмем разбиение квадрата [ О, 1 ] X X [ О, 1 ] на замкнутые квадраты ( п - 1) - го ранга и рассмотрим / - и квадрат ( п - 1) - го ранга. В силу построения, составляющие его квадраты п-го ранга будут занумерованы числами 4 / - 3, 4 / - 2, 4 / - 1, 4 / и квадраты с соседними номерами имеют общую сторону. Ясно, что из них хотя бы два квадрата с соседними номерами имеют общую вертикальную сторону. [13]
Каждая вершина дерева соответствует квадрату плоскости. Если соответствующий квадрат окрашен одним цветом, вершина является листом и указывает этот цвет, иначе из нее выходят четыре ребра, соответствующие разбиению квадрата на квадраты меньшего размера. [14]