Cтраница 1
Разбиение Хегора является мостом между двумерной и трехмерной топологией, точнее говоря, между гомеоморфизмами двумерных поверхностей и трехмерными многообразиями. Эффективное описание первых позволяет эффективно описать последние. Де-ном ( см. [ Del ]), который представил доказательство теоремы о том, что любой гомеоморфизм поверхности является композицией скручиваний. [1]
Каждое разбиение Хегора имеет род, который по определению равен как роду каждого из кренделей ( поскольку крендели имеют общий край, их роды одинаковы), так и роду разделяющей их поверхности Хегора. Род трехмерного многообразия определяется как минимально возможный род его разбиений Хегора. Таким образом, род многообразия равен k, если оно допускает разбиение Хегора рода k и не допускает разбиений меньшего рода. Все многообразия рода 1 также известны. [2]
Сопоставим данному разбиению Хегора ( многообразия М3 на тела с д ручками М3 и М) систему замкнутых кривых на сфере с д ручками N следующим образом. [3]
Полученное описание разбиения Хегора пока не удовлетворяет нашим требованиям. Определение 1 все еще опирается на гомеоморфизм / и, тем самым, непосредственно использует строение многообразия. Кроме того, из этого определения не видно, как именно может ( и как не может) выглядеть диаграмма Хегора. Следующее определение свободно от этих недостатков. [4]
Итак, сфера 53 допускает разбиение Хегора на два полио-тория. [5]
Любое ориентируемое трехмерное многообразие М3 с краем допускает разбиение Хегора. [6]
Теорема, Любое ориентируемое многообразие М3 ( без края) допускает разбиение Хегора. [7]
Простейшее разбиение Хегора получается, если разрезать S3 вдоль экватора ( двумерной сферы) на два шара. [8]
Каждое разбиение Хегора имеет род, который по определению равен как роду каждого из кренделей ( поскольку крендели имеют общий край, их роды одинаковы), так и роду разделяющей их поверхности Хегора. Род трехмерного многообразия определяется как минимально возможный род его разбиений Хегора. Таким образом, род многообразия равен k, если оно допускает разбиение Хегора рода k и не допускает разбиений меньшего рода. Все многообразия рода 1 также известны. [9]
Ясно, что меридианы тела с ручками попарно не пересекаются и не разбивают ее край на части. Поэтому нужно лишь проверить, что любая диаграмма Хегора в смысле определения 2 соответствует разбиению Хегора некоторого многообразия. [10]
Теперь легко построить тела с д ручками Aff и Af вместе с гомеоморфизмами их краев на N, переводящими меридианы тел М3 и М в окружности щ и и - на поверхности N соответственно. Это дает требуемое разбиение Хегора. [11]
Каждое разбиение Хегора имеет род, который по определению равен как роду каждого из кренделей ( поскольку крендели имеют общий край, их роды одинаковы), так и роду разделяющей их поверхности Хегора. Род трехмерного многообразия определяется как минимально возможный род его разбиений Хегора. Таким образом, род многообразия равен k, если оно допускает разбиение Хегора рода k и не допускает разбиений меньшего рода. Все многообразия рода 1 также известны. [12]