Cтраница 2
Известно, что если интеграл по замкнутому контуру равен нулю, то подынтегральная величина является полным дифференциалом, что и определяет неизменность ее численного значения независимо от пути, по которому подынтегральная величина приходит к первоначальному значению. Между тем величины q и / являются функциями не состояния, а процессами характер последнего всецело определяет их численные значения. Из рис. 2 - 2 можно убедиться в том, что в различных процессах изменения состояния рабочего тела затрачивается различная работа, определяемая величиной площади, расположенной под кривой соответствующего процесса; соответственно рабочему телу сообщается или отводится от него различное количество тепла. В связи с этим величины q и / ( или dq и dl) представляют собой количества тепла или работы, затраченные или полученные соответственно в конечном или элементарном процессе изменения состояния рабочего тела. Сообразно рассмотренным выше свойствам величины q и / не являются параметрами состояния рабочего тела и не имеют полных дифференциалов. [16]
Из математики известно, что если интеграл, взятый по замкнутому контуру, равен нулю, то имеется некоторая функция от тех же переменных величин ( в данном случае р, V, Т), полный дифференциал которой равен подынтегральной величине. [17]
В самом деле, подынтегральная величина ds / p есть объем, который занимает масса ds, и, следовательно, интеграл выражает полный объем единичного параллелепипеда. [18]
Обычные проблемы механики приводят к лагранжианам, которые не содержат производных выше, чем первые. В общем же случае вариационной проблемы в подынтегральной величине могут быть производные п-го порядка. Однако и такая задача может быть приведена к нормальному виду с помощью канонических интегралов, так что канонические уравнения Гамильтона, как показал Остроградский, могут рассматриваться как нормальная форма, в которую могут быть преобразованы дифференциальные уравнения, возникающие при рассмотрении вариационной проблемы; это преобразование требует только дифференцирований и исключений. [19]
Это следует из того, что остальные члены в этих формулах не зависят от выбора Sn. На основании асимптотического разложения для потенциала (12.24) при М f 0 ясно, что при удалении точек Sn в бесконечность подынтегральные величины в первом и втором равенствах (16.11) имеют порядки 1 / г4 и 1 / г3 соответственно. Отсюда следует, что для любой удаляющейся в бесконечность поверхности Б эти интегралы точно равны нулю. [20]
Предположим, что величина в скобках, на которую множится 6дь изменяет некоторым образом знак и абсолютное значение, но не равна нулю на интервале интегрирования. Тогда подынтегральная величина окажется положительной, так что SS не может быть равно нулю. [21]
Вопрос о том, представляет ли собой та или иная величина полный дифференциал, имеет большое значение в термодинамике, поскольку функции состояния обладают свойствами полного дифференциала. Соответствующая теорема утверждает, что интеграл от полного дифференциала при интегрировании по замкнутому контуру равен нулю. Справедлива и обратная теорема - если круговой интеграл равен нулю, то подынтегральная величина является полным дифференциалом. Вполне понятно отсюда, что если круговой интеграл нулю не равен, то подынтегральная ф ункция полным дифференциалом не является. [22]
Записав соотношения вдоль характеристик одного из семейств, он предложил заменить неизвестную заранее подынтегральную величину аппроксимирующим выражением, а само уравнение характеристики также заменить простой аппроксимирующей формулой. При этом расчет становится довольно простым; точность расчета, как показало сравнение его результатов с точными решениями для конуса и для осесимметричного конического течения разрежения, найденного А. А. Никольским, оказывается вполне удовлетворительна. [23]
Эти два выражения показывают, что интеграл от элементарных приведенных теплот не зависит от пути изменения свойств рабочего тела, а зависит только от начального и конечного состояния системы. Существует и функция, которая удовлетворяет этому условию. В математике сформулирована теорема о том, что если интеграл по замкнутому контуру равен нулю, то имеется такая функция от переменных интегрирования, полный дифференциал от которой равен подынтегральной величине. [24]