Cтраница 2
Пусть Рп ( К) - число способов, которыми карта с п гранями, покрывающая сферу, может быть раскрашена при числе цветов, меньшим или равным К. Две раскраски существенно отличаются друг от друга, если ни одна из них не может быть получена из другой перестановкой цветов. Я - г 1) способов раскраски карты / цветами из набора Я цветов. [16]
Эта карта по предположению 4-раскрашиваема. Рассмотрим в карте G произвольную вершину v, у которой degy. Если в G отождествить между собой все добавленные при построении карты G вершины, соответствующие вершине v ( причем сделать это для всех вершин v карты G, степень которых отлична от 3), то получим карту G. Поэтому, имея некоторую 4-раскраску карты G и осуществляя указанное выше стягивание карты G в карту G, получаем m - раскраску карты G, где Теорема доказана. [17]
Задача раскрашивания областей произвольной карты может быть сведена к задаче раскрашивания областей трехвалентной карты. Это достигается путем замены какой-то вершины степени, отличной от трех, на замкнутую многоугольную область с числом вершин, равным числу ребер, инцидентных с исходной вершиной. Каждая из новых вершин имеет степень 3, и к ней инцидентно одно из этих ребер. Раскраска исходной карты получается из раскраски трехвалентной карты путем стягивания каждой из новых областей снова в исходную вершину. Таким образом, если четырех цветов достаточно для раскрашивания трехвалентной карты, то их достаточно и для раскрашивания исходной карты. [18]
С 70 - х годов прошлого века известно, что в трехмерном пространстве бесконечно много конгруентных тел можно составить так, чтобы каждые два из них имели общую часть поверхности. Читателям, которым этот результат неизвестен, я предлагаю попытаться решить аналогичную задачу с поликубами. Поликубом называется объединение конгруентных кубов. Покажите, как можно составить пространственное тело без внутренних пустот из конгруентных поликубов так, чтобы у любых двух поликубов часть поверхности была общей. Существование такой пространственной мозаики свидетельствует о том, что для раскраски любой трехмерной карты понадобилось бы бесконечно много красок. [19]