Cтраница 2
Отсюда также понятно, что эта переместительность имеет место и тогда, если знак вариации 8, равно как знак дифференцирования d, встречается несколько раз; это замечание, быть может, окажется полезным при других рассмотрениях. Но в настоящей работе повторение вариации о нигде не рассматривается, так как от данной линии или поверхности мы переходим только к одной, ей очень близкой. Действительно, хотя это понимается в самом общем виде, так что при этом подразумеваются все бесконечно близкие линии или поверхности, но рассматривается только одна, а после того, что мы от главной кривой перешли к соседней, не будет рассматриваться никакой новый переход. Таким образом, такие рассуждения, для которых требуются вариации вариаций, полностью исключаются. [16]
В этом последнем выражении может быть справедлив лишь знак равенства, так как противоположная по знаку вариации также возможна. [17]
Поскольку в соотношении ( 137) заданные внешние силы и действительные компоненты напряжения являются неизменными, знак вариации 6 можно вынести за знак интеграла. [18]
Поскольку в соотношении ( 137) заданные внешние силы и действительные компоненты напряжения являются неизменными, знак вариации б можно вынести за знак интеграла. [19]
Эти уравнения линейны, а варьирование, подобно дифференцированию, понижает на единицу степень выражения, стоящего под знаком вариации. Таким образом, лагранжиан должен быть квадратичной функцией относительно напряженностей поля. Известно существование инварианта поля (2.53), квадратичного относительно напряженностей поля. [20]
Полученная таким образом критическая нагрузка определяет величину усилия, при превышении которой может возникнуть неустойчивость; возникновение же неустойчивости определяется знаком вариации более высокого порядка. [21]
Именно так будет вести себя и реальная система - она способна терять устойчивость в те непредвиденные моменты времени, когда неизбежный в процессе эксплуатации дрейф параметров приведет к изменению знака вариаций. Разумеется, такая система регулирования скорости электропривода неработоспособна и опасна. Но всего этого мы не увидим, если будем использовать традиционные методы проверки устойчивости и ее сохранения при вариациях параметров. [22]
Поле E ( r2, t) есть полное флуктуационное электрическое поле в месте нахождения второй системы. Знак вариации 8 в (2.7) означает, что из выражения в квадратных скобках следует вычесть его значение, получающееся при устремлении к бесконечности расстояния между системами. Тем самым исключается энергия самодействия, не имеющая отношения к взаимодействию между телами. Область применимости выражения (2.7) будет обсуждена в конце данной главы ( см. также гл. Формула (2.7) описывает энергию ван-дер-ваальсова взаимодействия, если можно считать, что тела находятся в основном состоянии. В тех случаях, когда следует учитывать влияние температуры, выражение (2.7) отвечает свободной энергии. [23]
А плюс произвольная постоянная. Так как знаки вариации и интеграла можно менять местами, то правую часть можно представить в виде вариации интеграла от функции А плюс постоянная. [24]
Судьба зародыша, возникшего в процессе гетерофазной флуктуации, зависит от того, является ли система, включающая в себя зародыши, более или менее устойчивой, нежели исходная. О направлении изменения устойчивости системы свидетельствует знак вариации термодинамического потенциала; устойчивому состоянию отвечает, как известно, минимум потенциала. [25]
Довольно распространено некоторое видоизменение гиббсовских условий равновесия: равновесие определяют как состояние, отвечающее экстремуму энтропии при неизменности энергии или экстремуму энергии при неизменности энтропии. При этом равновесие может оказаться устойчивым ( стабильным) или неустойчивым ( лабильным), что определяется знаком вариации второго порядка. [26]
Особенно важно отметить еще раз, что эти изменения могут возникать лишь при определенных сочетаниях положительных и отрицательных вариаций различных коэффициентов и параметров, и поэтому совпадение между результатами расчета какого-либо объекта и его реальным поведением на испытаниях или в ходе эксплуатации еще ни о чем не говорит и ничего не гарантирует. Поскольку при изготовлении любого технического устройства знак неизбежных малых отклонений реальных параметров от расчетных значений непредсказуем, то в изготовленном объекте комбинация знаков вариаций параметров вполне может оказаться безопасной, и исследуемый объект может успешно пройти все испытания и неопределенно долго работать в полном соответствии с расчетом. Однако при неизбежном в ходе эксплуатации малом дрейфе параметров в любой момент может произойти полное расхождение между реальным поведением объекта или процесса и результатом расчета. [27]
В начале усилия были направлены именно на то, чтобы доказать ложность принципа Лагранжа, хотя Брашман, по свидетельству Н. Е. Жуковского, и признавался, что когда он размышляет об этом вопросе утром, то ему кажется, что прав Лагранж, а когда размышляет вечером - что прав Остроградский. Однако, как показал М. И. Талызин ( 1819 - 1869), это противоречие доказывает только, что знак вариации означает у Лагранжа неизохронную вариацию. Талызин же показал, что в принципе наименьшего действия время варьируется, а не варьируется одна из координат. [28]