Cтраница 1
Любое рассуждение в математических доказательствах состоит из простых шагов, каждый из которых заключается в опознавании того, что одни предложения являются непосредственными логическими следствиями других. Эти шаги имеют аналоги в математических формализованных теориях. Эти аналоги, являющиеся формализацией элементарных логических связей дедуктивного рассуждения, называются правилами вывода. [1]
Любое рассуждение в математических доказательствах состоит из простых шагов, каждый из которых заключается в опознавании того, что одни предложения являются непосредственными логическими следствиями других, Эти main имеют аналоги в математических формализованных теориях. Эти аналоги, являющиеся формализацией элементарных логических связей дедуктивного рассуждения, называются правилами вывода. [2]
Любое рассуждение только тогда непротиворечивое, последовательное, когда в нем нет ни противоположных, ни противоречащих суждений. Избежать противоречивости рассуждений нам помогают следующие логические законы. [3]
Любое рассуждение, которое подводит нас, создавая видимость доказательства там, где его в действительности нет, может быть названо логической ошибкой. [4]
Анализ любого рассуждения показывает, что оно опирается на пек-рые ( явные или скрытые) допущения. Уже то обстоятельство, что слова, используемые при изложении рассуждения, что-то означают, равно как и то, что лицо, воспринимающее рассуждение, в конце этого рассуждения правильно помнит его начало, оба эти обстоятельства, как и нек-рые другие, зависят от нек-рых допущений. [5]
Камнем преткновения в любых рассуждениях об устройстве обществ является вопрос ютной собственности. [6]
Закон достаточного основания требует, чтобы наши мысли в любом рассуждении были внутренне связаны друг с другом, вытекали одна из другой, обосновывали одна другую. [7]
Противоречивость мнений относительно процесса принятия решений весьма сходна с тем, что мы наблюдаем в представлении о процессе, связанном с изобретательством. В любых рассуждениях о том, каким образом рождаются новые идеи, как возникают изобретения и, достигаются результаты в научных исследованиях, существует очень много спорного и мало единства во взглядах. Однако господствует почти полное единодушие в признании того факта, что вероятность достижения успеха определяется квалификацией и опытом исследователя, размерами ассигнований, характером мотивов и степенью заинтересованности в получении результата. Этот общий взгляд относительно сущности функции преобразования, которая сочетает вводы в виде финансов и людских ресурсов и обеспечивает выработку на этой основе научных выводов, является базой для решений конгресса и для определения величины ассигнований на нужды военного ведомства. [8]
Теория турбулентного движения не располагает методами, с помощью которых было бы возможно найти строгую форму представления эффектов пульсационной природы в осредненных величинах. В этой связи скажем здесь еще раз, что в качестве фундамента для развития теории разумно предпочесть любым рассуждениям, не имеющим под собой достаточно надежных и полных физических представлений, твердо установленные опытные факты. [9]
Однако все, что нами было установлено для этого случая, в равной мере сохраняет силу и доказывается в точности теми же методами и для второго типа обобщенных интегралов - для интегралов от неограниченных функций. Мы не имеем здесь возможности останавливаться даже на формулировках соответствующих теорем; да вряд ли в этом есть и надобность, так как аналогия достаточно полна, чтобы можно было почти автоматически переносить любое рассуждение с одного случая на другой. Для читателя было бы очень полезным упражнением самостоятельно перенести определения всех понятий, формулировки и детальные доказательства всех предложений настоящего параграфа на случай интегралов от неограниченных функций. [10]
Что касается конкретных структур, то и для них естественные теории не всегда оказываются полными. Ее аксиомы включают в себя обычные свойства сложения и умножения, а также аксиомы индукции. Опыт показывает, что любое рассуждение теории чисел, в котором речь идет только о конечных объектах, может быть формально записано в виде вывода из аксиом этой теории. Более того, многие доказательства, использующие бесконечные объекты ( скажем, важнейшую в теории чисел - функцию Римана), могут быть модифицированы и погружены в эту формальную теорию. [11]
Первой стадией является подвод реагирующих частиц к реакционной поверхности, который может осуществляться либо за счет молекулярной диффузии, либо в результате конвекции. В первом случае перемещение частиц происходит за счет разности их концентраций в различных точках раствора, во втором имеет место макроскопический перенос реагирующих веществ вместе с раствором. Этот перенос может иметь случайный ( влияние температурных полей, перемешивание раствора при выделении газовой фазы) или закономерный ( вынужденная, направленная или регулируемая конвекция) характер. Независимо от причины, вызывающей конвективный перенос вещества, его необходимо учитывать при любых рассуждениях и расчетах, связанных с первым этапом растворения. [12]
Можем ли мы доказать это, пользуясь тем же математическим методом, правильность которого и составляет вопрос, а именно путем дедукции, исходящей из аксиом. Для Гильберта как поборника аксиоматического метода нелегко было признать, что непротиворечивость достигается с помощью интуитивных рассуждений, основанных на очевидности, а не на аксиомах. И, тем не менее, то, что в дело в конце концов вступает проницательное око нашего разума, не вызывает удивления. Уже тогда, когда мы излагаем правила игры, нам приходится рассчитывать на понимание. Игра проходит без слов, но ее правила необходимо сформулировать, и любое рассуждение о правилах, в частности об их непротиворечивости, необходимо облечь в слова. Кстати сказать, описывая необходимую интуитивную основу своей Beweistheorie 30, сам Гильберт демонстрирует мастерское владение языком - этим, увы, неоднозначным средством общения. При выборе того, что он считает очевидным в своих метаматематических рассуждениях, Гильберт поступает как католик, более ревностный, чем папа римский, - он стремится к большей строгости, чем Кронекери Брауэр. [13]