Cтраница 1
Сильная версия (20.31) обобщенного условия Лежандра играет во вполне особом случае такую же роль, как усиленное условие Лежандра в регулярном случае. [1]
Это открытая гипотеза Татта, известная в литературе как сильная версия 4-потоковой гипотезы Татта [ Т u 11 e W. [2]
Таким образом, уже самим своим определением Лебег заранее вводит цермеловость: вполне упорядоченность множества рассматриваемых точек и принадлежность предела чисел второго класса ко второму классу. При этом во втором требовании он идет даже дальше, чем это следует из указанного результата Серпинского. В самом деле, Лебег принимает, что каждое трансфинитное число второго рода есть предел последовательности меньших чисел. Поскольку же множество чисел второго рода имеет мощность континуума 21, то фактически Лебег обращается к еще более сильной версии аксиомы выбора. [3]
Какая из указанных в первой главе нашей книги версий аксиомы выбора достаточна для его получения, мне неизвестно. По аналогии с утверждением Серпинского относительно теоремы о счетности счетной суммы счетных множеств можно предполагать, что нужна версия с континуальным семейством множеств, каждое из которых имеет мощность, большую мощности континуума. Возникает вопрос, за счет чего Борель мог получить это. У Кантора он понятен: его теорема ( Е) [ 4, с. Мы полагаем, что успех Бореля обусловлен еще одним допущением, всегда или по крайней мере со времени Ферма и Декарта считающимся очевидным и не требующим какого-либо обоснования, которое содержится в выделенных нами словах Бореля. Они действительно очень естественны. Однако если перетолковать их теоретико-множественным образом, то они означают, что множество точек единичного квадрата есть декартово произведение множества точек единичного отрезка на себя ( такое толкование тоже обычно); другими словами, если мощность множества точек единичного отрезка обозначить через т, то указанное допущение означает, что тт2, а это - частный случай ( для множеств мощности континуум) бернштейновского эквивалента аксиомы выбора ( см. с. Выходит, что своим, точнее канторовским, рассуждением о непрерывных дробях Борель доказал эквивалент сильной версии аксиомы выбора. [4]