Cтраница 1
Координатный репер хь х2, х3 может совершать любые движения, но в данном случае представляет интерес относительное изменение положения тройки векторов х, , х в системе хр х2, х3, вследствие чего допустимо последнюю считать постоянной. [1]
Выберем в евклидовом пространстве какой-нибудь координатный репер; будем обозначать координаты точек пространства относительно этого репера прописными латинскими буквами. [2]
Проективная координатная система однозначно определяется своим проективным координатным репером. Точки ЕО, Ei, E2, Е3 тогда и только тогда составляют проективный координатный репер, когда они являются точками общего положения. [3]
Точка Aio и вектор а составляют некоторый аффинный координатный репер на рассматриваемой прямой. [4]
Как мы знаем, если в пространстве выбран какой-нибудь координатный репер, то между совокупностью всех точек пространства, с одной стороны, и совокупностью всех упорядоченных троек вещественных чисел, с другой стороны, устанавливается естественное взаимно однозначное соответствие. В этом смысле пространство называют трехмерным и просто отождествляют с совокупностью всех упорядоченных троек вещественных чисел. По аналогии с этим мы комплексным трехмерным пространством назовем совокупность всех упорядоченных троек комплексных чисел; сами эти тройки мы будем называть точками комплексного трехмерного пространства, а числа, образующие эти тройки, - координатами соответствующей точки; при этом точки, у которых все три координаты вещественные, мы будем называть вещественными, а остальные точки - мнимыми. Таким образом, обычное ( вещественное) трехмерное пространство будет содержаться в комплексном трехмерном пространстве, как совоку ность всех вещественных точек. Две точки, у которых соответственные координаты являются сопряженными комплексными числами, мы будем называть сопряженными точками. [5]
Рассмотрим произвольную плоскость тс евклидова пространства и выберем на ней какой-нибудь координатный репер С1э С2 с началом О. Координаты точек плоскости тс относительно этого репера будем обозначать прописными латинскими буквами. [6]
В соответствии с этим точки EI, Е2 ( и Е3) координатного репера OEiE2 ( репера OEiEzEs) на плоскости ( в пространстве) называются единичными точками его координатных осей. [7]
Здесь несомое многообразие - касательная плоскость - совпадает в каждой точке с несущим многообразием ( тоже плоскостью), а порождаемый в каждой из касательных плоскостей координатный репер совпадает ( с точностью до параллельного переноса) с координатным репером ер е2 рассматриваемой плоскости. [8]
Ряд фактов свидетельствует о том, что связь между вектором напряжения и вектором деформации в Эз должна быть инвариантна относительно преобразований вращения или вращения и отражения координатного репера, и на этом основании формулируется постулат изотропии. Если естественный репер, аналогичный трехграннику Френе, при движении по траектории нагружения изменяется непрерывно, то получается простая связь между векторами напряжений и деформаций. [9]
Положение произвольной точки М заданной плоскости П можно определять двояким образом: с одной стороны, ее координатами л:, j /, z относительно какого-нибудь координатного репера е1э е2, es в пространстве, а с другой стороны, - ее координатами я, v относительно какого-нибудь координатного репера а, 6 на самой плоскости. [10]
Здесь несомое многообразие - касательная плоскость - совпадает в каждой точке с несущим многообразием ( тоже плоскостью), а порождаемый в каждой из касательных плоскостей координатный репер совпадает ( с точностью до параллельного переноса) с координатным репером ер е2 рассматриваемой плоскости. [11]
Положение произвольной точки М заданной плоскости П можно определять двояким образом: с одной стороны, ее координатами л:, j /, z относительно какого-нибудь координатного репера е1э е2, es в пространстве, а с другой стороны, - ее координатами я, v относительно какого-нибудь координатного репера а, 6 на самой плоскости. [12]
Проективная координатная система однозначно определяется своим проективным координатным репером. Точки ЕО, Ei, E2, Е3 тогда и только тогда составляют проективный координатный репер, когда они являются точками общего положения. [13]
Раньше математики охотно следовали примеру Кэли и каждую группу линейных преобразований путем присоединения к ней абсолютных элементов 21 пытались сводить к полной линейной группе. Сам Клейн часто пользовался этим искусственным приемом. Так, путем присоединения бесконечно удаленной плоскости удается перейти от аффиного пространства к проективному. Именно в таком аналитическом одеянии представил Эйнштейн свою общую теорию относительности. Рассмотрим в качестве примера четырехмерный мир с его метрическим полем, служащим по Эйнштейну причиной явлений гравитации. Четыре координаты - непрерывные функции местоположения в мире, значения которых позволяют различать мировые точки, - произвольны. Следовательно, законы этого мира должны быть инвариантными относительно группы всех непрерывных преобразований координат. Метрика в точке Р проявляется в том, что из класса координатных реперов, образуемых четырьмя векторами в точке Р, выделяется класс декартовых реперов. Переход от одного декартова репера к другому осуществляется с помощью группы ортогональных преобразований. Только эта группа характеризует природу нашего многообразия, и в рамках формализованной математики ортогональную группу можно заменить любой другой раз и навсегда выбранной группой. [14]