Cтраница 1
Решение изопериметрической задачи сводится к решению системы ( 16), состоящей из п дифференциальных уравнений Эйлера. [1]
При решении изопериметрической задачи используется следующее необходимое условие экстремума, подобное условию, сформулированному в теореме 6 для задачи Лагранжа. [2]
Пользуясь методом множителя Эйлера, доказать, что решением классической изопериметрической задачи является окружность. [3]
Как известно ( § 1.2), минимизация критериев Jlt / 2 при условии (5.34) относится к решению изопериметрической задачи и задачи на условный экстремум вариационного исчисления. Поэтому функционалы Ji ( u), J2 ( u) при наличии ограничений на управление и на координаты приводятся к одному функционалу. [4]
Достижения Лагранжа, этого величайшего математика XVIII века, во многих отношениях параллельны работам Эйлера. Лагранж вполне независимо от Эйлера получил решение изопериметрических задач, сделав это совершенно новыми методами. [5]
Оказалось что, такие задачи сводятся к вычислению сумм специального вида, которые называются суммами граничных функционалов. Метод граничных функционалов разработан А.А. Сапоженко для решения перечислительных изопериметрических задач. Он сочетает в себе комбинаторный и вероятностный подходы и позволяет получать предельные распределения для случайных величин типа числа компонент связности. Сущность метода заключается в сведении исходной комбинаторной задачи к вычислению сумм граничных функционалов и дальнейшему аналитическому исследованию последних. [6]
Формулировка Мопертюи принципа наименьшего действия была еще весьма несовершенна. Первая научная формулировка принципа была дана Эйлером в том же 1744 г. в сочинении Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума либо минимума, или решение изопериметрической задачи. Он сформулировал свой принцип следующим образом: интеграл mvds имеет наименьшее значение для действительной траектории, рассматривая последнюю в группе возможных траекторий, имеющих общие начальное и конечное положения и осуществляющихся с одним и тем же значением энергии. Эйлер дает своему принципу точное математическое выражение и строгое оооснование для одной материальной точки, подчиненной действию центральных сил. На протяжении 1746 - 1749 гг. Эйлер написал несколько работ о фигурах равновесия гибкой нити, где принцип наименьшего действия получил применение к задачам, в которых действуют упругие силы. [7]
В письме от 28 января 1741 г. Даниил Бернулли спрашивал Эйлера, может ли он решить проблему центральных сил методом изопериметров. Эйлер нашел решение этой задачи в марте 1743 г. В 1744 г. оно было опубликовано им в приложении Об определении движения брошенных тел в несопротивляющейся среде методом максимумов и минимумов к знаменитой книге Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума, или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле. Эйлеру, как правильно указывает Серре), принадлежит исторически первая отчетливая идея математического содержания, которое вкладывается наукой в принцип наименьшего действия. Именно Эйлер в 1744 г. в указанном приложении показал, что для траекторий, описываемых под действием центральных сил, интеграл f vds, где v - скорость, всегда равен минимуму или максимуму. [8]
Можно ли считать, что в приведенном рассуждении Штей-нера ( даже если считать достаточно точными использованные выше понятия замкнутой плоской кр. Если К - замкнутая плоская кривая, отличная от окружности, то с помощью четырехшарнирного метода можно построить новую замкнутую плоскую кривую К той же длины, которая охватит большую площадь. Поэтому К не может быть решением изопериметрической задачи. [9]
Первые исследования этой задачи выполнены Лейбницем и Я. Бернулли, но наиболее важный результат найден самим И. Он показал, чтов любой точке кратчайшей линии соприкасающаяся плоскость перпендикулярна к касательной плоскости к поверхности, что, как известно, является основным свойством геодезических линий. Эйлер опубликовал найденное им решение в 1744 г. в приложении Об определении движения брошенных тел в несопротивляющейся среде методом максимумов и минимумов к знаменитой книге Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума, или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле. Именно Эйлеру принадлежит исторически первая отчетливая идея математического содержания, которое вкладывается наукой в принцип наименьшего действия. [10]