Cтраница 1
Решение вспомогательных уравнений в случае более общих граничных условий (3.1) и (3.3), или для тела в форме пластины или цилиндра, не наталкивается на трудности, хотя изображения получаются значительно более сложными. [1]
Некоторые функции времени часто получают в виде результата решения вспомогательного уравнения. [2]
Вспомогательные уравнения решаются на момент времени К после решения уравнений уровней, поскольку для решения вспомогательных уравнений, как и для решения уравнений темпов, часть которых они собой представляют, используются данные о значениях уровней в тот же момент времени. Они должны быть решены прежде уравнений темпов, поскольку получаемые при этом результаты необходимы для подстановки в уравнения темпов. [3]
В ходе дискуссии с Либри Лиувилль отметил, что в работах Либри имеются погрешности, недоказанные утверждения, а в конце одного из своих выступлений сказал: После обсуждения, где столько говорилось об алгебраических уравнениях, я надеюсь заинтересовать Академию, известив ее, что в бумагах Эвариста Галуа ( эти рукописи были мне доверены г. Огюстом Шевалье) ( курсив мой, -) Галуа замечает мимоходом, что всегда можно заставить решение данного алгебраического уравнения зависеть от решения вспомогательного уравнения, такого, что два его корня, взятые наугад, выражаются рационально один через другой и второй через первый, по желанию ( С. [4]
В следующем пункте будет доказана теорема, подтверждающая такое ожидание: решение вспомогательного уравнения может быть сделано сколь угодно близким к решению заданного уравнения, если, во-первых, число К не есть собственное значение заданного уравнения и, во-вторых, вырожденное ядро вспомогательного уравнения взято достаточно близким к заданному ядру. [5]
Оно имеет тот же вид, что и уравнение (10.4), так что к нему применимы методы исследования, изложенные в предыдущих параграфах. Именно, в невырожденном случае каждое малое решение вспомогательного уравнения (14.9) представимо в виде сходящегося ряда по целым или дробным степеням К. [6]
Таким образом, лучшее, что можно сказать, - это то, что решение дифференциального уравнения n - го порядка, инвариантного относительно проективной группы, можно получить из общего решения редуцированного уравнения ( п - 3) - го порядка, используя две квадратуры и решение вспомогательного уравнения Риккати первого порядка. [7]
ФДУ вида ( 1) является весьма общим объектом, и изучать такое уравнение можно лишь при определенных ограничениях на операторы С и F. Тем не менее примечательно, что внешне различные ФДУ могут иметь одинаковое множество решений. Как правило, этот путь преобразований достаточно труден, требует решения сложных вспомогательных уравнений, а иногда вообще неясно, как преобразовывать уравнение. Однако на практике для достижения цели достаточно бывает лишь установить факт эквивалентности исследуемого уравнения более простому, другими словами, факт приводимости уравнения к более простому виду. [8]
Существует другой метод решения таких уравнений, не связанный с итерациями. Этот метод был предложен Г. Ф. Друкаревым 1) в представлении интегральных уравнений и независимо Персивалем и Марриотом 2) в представлении интегро-дифференциальных уравнений. Метод основан на замене уравнений (44.3) совокупностью независимых уравнений, каждое из которых может быть решено обычными численными методами. Искомое решение уравнения (44.3) получается затем в виде линейной комбинации решений вспомогательных уравнений. [9]