Cтраница 3
В будут знакопостоянными ( и про - тивоположными по знаку) в интервале 0CzCl - На рис. 9.3, a - с показан качественный переход к установившемуся решению. Соответствующие решения получены путем численного интегрирования уравнений генерации методом, описанным в § 9.6 для ot sin Jtz и D - - 100, - 20, - 8 соответственно. [31]
Если пм зависит от времени по закону пк - пмо cos Ш, где П ш / ар ( ра - безразмерная круговая частота, то нас интересует установившееся решение задачи. Для сравнения с опытом важно знать постоянную составляющую и первую и вторую гармоники ряда Фурье в этом предельном цикле. [32]
Таким образом, в случае устойчивого многочлена D ( p) решение ( 14) системы ( 11) не только является одним из частных решений, но представляет собой установившееся решение. [33]
Отрицательный знак коэффициента а, в ( 1 - 48а) в структуре звена выражается подачей положительных значений скорости выходной величины на вход первого интегратора, что создает непрерывное увеличение амплитуды колебаний на выходе звена. Установившегося решения вида ( 1 - 33) в этом звене также не существует. [34]
Возможность решения матричных уравнений в вычислительных блоках, как было отмечено, распространяется и на нелинейные уравнения. Этот факт делает возможным получение установившихся решений в задачах оптимальной оценки и управления, составляющих обширный класс прикладных задач оптимизации. В случае, когда исходная динамическая система полностью наблюдаема и управляема, эти решения имеют постоянные установившиеся значения. В качестве примера получим такое установившееся решение для рассмотренной ранее ( см. разд. [35]
Алгебраическое уравнение Риккати является нелинейным, и в общем случае аналитически решить его не удается. Как было показано выше, искомое решение этого уравнения совпадает с установившимся решением дифференциального матричного уравнения Риккати. [36]
Мы видим, что модифицировалось только уравнение для недиагонального элемента матрицы плотности. Будем решать систему (5.17) аналогично тому, как решалась система (5.1) в задаче 5.1. Ищем установившееся решение, не зависящее от начальных условий. [37]
Решение в данном случае изменяется со временем в малой окрестности устойчивых ветвей на диаграмме решений, в малой окрестности аттракторов. Процесс эволюции системы можно представить в форме так называемой эволюционной диаграммы, на которой из диаграммы решений выделяются устойчивые части и на которой стрелками изображается эволюция установившегося решения во времени. Наряду с этими медленными изменениями отмечаются также быстрые переходы от решения, которое потеряло устойчивость, к следующему аттрактору. [38]
Интересно проследить поведение картины течения в пределах периода активности звезды, достаточно удаленного от начального момента времени. Видно, что в форме внутренней ударной волны устанавливается вполне определенная периодичность. В то же время ясно, что эта форма очень отличается от начальной и вряд ли когда-нибудь совпадает с каким-либо установившимся решением в выбранном диапазоне изменения звездного ветра. Присутствие последовательности движущихся друг за другом ударных волн также является новой чертой нестационарного течения. [39]
Возможность решения матричных уравнений в вычислительных блоках, как было отмечено, распространяется и на нелинейные уравнения. Этот факт делает возможным получение установившихся решений в задачах оптимальной оценки и управления, составляющих обширный класс прикладных задач оптимизации. В случае, когда исходная динамическая система полностью наблюдаема и управляема, эти решения имеют постоянные установившиеся значения. В качестве примера получим такое установившееся решение для рассмотренной ранее ( см. разд. [40]
При этом следует иметь, конечно, в виду, что метод позволяет определять отнюдь не общее решение исходного уравнения, а лишь одно из его частных решений. Чтобы получить общее решение, нужно прибавить к найденному сумму ( с произвольными коэффициентами) двух независимых решений уравнения без правой части. Как мы видели выше, решения однородного уравнения ( без правой части) затухают. Через достаточно долгий промежуток времени их вклад всегда становится исчезающе мал. Метод комплексных амплитуд позволяет получить, таким образом, установившееся решение, к которому рано или поздно система обязательно придет. [41]
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами представляют собой большой и важный класс обыкновенных дифференциальных уравнений, решающихся до конца при помощи элементарных функций. Ввиду того, что решение этих уравнений принципиально не представляет больших трудностей, часто считают, что они не имеют сколько-нибудь значительного интереса для теории, и в учебниках им обычно отводят место простого примера к общей теории линейных уравнений. Между тем линейные уравнения с постоянными коэффициентами имеют многочисленные технические применения, так как работа весьма многих технических объектов достаточно адэкватным образом описывается этими уравнениями. Именно технические применения выдвигают ряд новых задач теоретического характера в теории линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Решению этих теоретических задач посвящено немало работ, имеющих прикладную направленность, и некоторые из них нашли отражение в настоящей главе. Так, в этой главе используются обычные для инженерной практики операционные обозначения, которые очень удобны для решения систем уравнений методом исключения. Рассматривается вопрос об устойчивости решений систем линейных уравнений, очень важный в теории автоматического управления. Далее, излагается так называемый метод комплексной амплитуды, представляющий собой удобный способ нахождения частных установившихся решений и широко применяемый в электротехнике. [42]