Cтраница 1
Единственное слабое решение задачи ( 1П) мы обозначим ип. Справедлив следующий результат о непрерывной зависимости. [1]
Рассмотрим слабое решение задачи (34.3), (34.4) с однородными граничными условиями. Это ограничение не имеет существенного значения. Читатель может легко обобщить следующие ниже рассуждения на случай неоднородных граничных условий. [2]
Таким образом, если слабое решение задачи (35.3), (35.4) существует, то условие (35.8) обязательно выполняется. [3]
Известно несколько путей построения глобальных слабых решений задачи Коши для законов сохранения в случае многих переменных с начальными данными довольно общего вида. [4]
Что касается формулировки граничного условия в смысле данного выше определения слабого решения задачи (32.25), (32.26), заметим следующее. Там же обсуждаются условия, при которых слабое решение данной задачи является также ее классическим решением. Ясно, что в случае, когда функция g ( S) не является следом какой бы то ни было функции из W ( ( G) t наш подход не годится. В таких случаях избирается какой-либо иной метод. Этот способ полезен, например, в случае уравнений второго порядка. Другой способ, пригодный также для уравнений более высоких порядков, состоит в отыскании решения в соболевских пространствах с весами ( см. работы [21 - 23]), либо в обобщении понятия слабого решения введением так называемого очень слабого решения. Эти проблемы рассматриваются в [32]; см. также гл. [5]
Как было уже показано, если условие (35.8) не выполняется, то слабого решения задачи (35.3), (35.4) не существует. Поэтому случай, когда условие (35.8) не выполняется, будет из наших дальнейших рассуждений исключен. Наша первоочередная задача состоит в том, чтобы показать, что условие (35.8) является не только необходимым, но и достаточным для существования слабого решения данной задачи. Для этого достаточно показать, что в предположении (35.8) задача (35.11), (35.12) имеет решение. [6]
Когда мы имеем форму вида (35.5), то, как уже отмечалось, слабым решением задачи (35.3), (35.4) является также функция вида и ( х) С, где С - постоянная. [7]
SD ( ф) s S ( 0, оо), и если начальное значение существенно ограничено, то полугрупповое решение фактически является слабым решением задачи ( I): оно удовлетворяет дифференциальному уравнению в смысле распределений. [8]
Теорема 1.2. Каждое классическое решение задачи 2 является также слабым решением. Если слабое решение задачи 2 достаточно гладкое, то оно является и классическим. [9]
Требования на заданные функции могут быть ослаблены, если интересоваться решениями в нек-ром обобщенном смысле. Q т, локально интегрируемой я з н непрерывной ф можно определить слабое решение задачи Коши ( 1) ( 2) как равномерный ( в любом Q д-п) предел классич. [10]
Следовательно, пространства W ( ( G и НА состоят из одних и тех же элементов. Кроме того, (36.30) означает W ( 21 ( О) - эллип-тичность формы ( v, и) А, расширенной на все НА. Из (36.24) и из (11.7) тогда следует, что слабое решение задачи (36.21), (36.22) совпадает с обобщенным решением этой задачи, определенным в гл. [11]