Cтраница 1
Полиномиальные решения уравнения ( 1) обладают свойством ортогональности. [1]
Таким образом, полиномиальные решения уравнения ( 1) определяются формулой ( 10) однозначно с точностью до постоянного множителя. [2]
Таким образом, полиномиальные решения уравнения ( 1) определяются формулой ( 12) однозначно с точностью до нормировочного множителя. [3]
Впрочем, существование полиномиального решения уравнения ( 1) вытекает из того факта, что оператор o ( z) d2 / 2z2 t ( z) d / dz переводит любой полином степени п в поливом той же степени. [4]
Другой подход к решению задачи о равновесии упругого параллелепипеда развит в работах Б. А. Бондаренко ( 1961, 1963), который использовал полиномиальные решения уравнений теории упругости в перемещениях, причем произвольные коэффициенты в этих решениях определяются по методу наименьших квадратов. [5]
Разностное уравнение ( 3) было введено как обобщение дифференциального уравнения ( 1) для классических ортогональных полиномов. Поэтому естественно ожидать, что полиномиальные решения уравнения ( 3) y ( s) yu [ x ( s) ] и весовые функции p ( s) при / z - 0 будут переходить в пределе при соответствующей нормировке в полиномиальные решения уравнения ( 1) и соответствующие им весовые функции. [6]
Разностное уравнение ( 3) было введено как обобщение дифференциального уравнения ( 1) для классических ортогональных полиномов. Поэтому естественно ожидать, что полиномиальные решения уравнения ( 3) y ( s) у ЬЫ ] и весовые функции p ( s) при h - 0 будут переходить в пределе при соответствующей нормировке в полиномиальные решения уравнения ( 1) и соответствующие им весовые функции. [7]
Показано, что для некоторых классов неравномерных сеток сохраняется рассмотренное ранее основное свойство разностного уравнения ( 2): в результате разностного дифференцирования исходного уравнения ( 3) на неравномерной сетке получаем уравнение того же типа. Это позволяет сохранить неизменными все ключевые моменты рассуждений второй главы и с помощью простейших математических средств получить основные свойства полиномиальных решений уравнения ( 3) - аналог формулы Родрига, свойство ортогональности, рекуррентные соотношения, формулы разностного дифференцирования и асимптотические представления. Уравнение ( 3) будем называть разностным уравнена ем гипергеометрического типа на неравномерных сетках, а его полиномиальные решения - классическими ортогональными полиномами дискретной переменной на неравномерных сетках. Частными случаями этих полиномов оказались полиномы, введенные Ханом [111], Кар-лином и Мак Грегором [112], Аски и Вильсоном [100], Вильсоном [124] при помощи различных специальных соображений. [8]
Разностное уравнение ( 3) было введено как обобщение дифференциального уравнения ( 1) для классических ортогональных полиномов. Поэтому естественно ожидать, что полиномиальные решения уравнения ( 3) y ( s) у ЬЫ ] и весовые функции p ( s) при h - 0 будут переходить в пределе при соответствующей нормировке в полиномиальные решения уравнения ( 1) и соответствующие им весовые функции. [9]
Разностное уравнение ( 3) было введено как обобщение дифференциального уравнения ( 1) для классических ортогональных полиномов. Поэтому естественно ожидать, что полиномиальные решения уравнения ( 3) y ( s) yu [ x ( s) ] и весовые функции p ( s) при / z - 0 будут переходить в пределе при соответствующей нормировке в полиномиальные решения уравнения ( 1) и соответствующие им весовые функции. [10]