Cтраница 1
Решетка множеств называется полной решеткой множеств, если она замкнута относительно теоретико-множественных объединений и пересечений произвольных семейств составляющих ее подмножеств. Решетка множеств может быть полной решеткой, но не быть полной решеткой множеств. Всякая полная решетка множеств одновременно является атомной и коатомной решеткой. [1]
Цепи, решетки множеств и решетки действительных функций, определенных на некотором пространстве, являются примерами дистрибутивных решеток. [2]
Так как каждая дистрибутивная решетка изоморфна некоторой решетке множеств ( см. I, 9.3), то достаточно доказать наше утверждение в случае, когда А является решеткой подмножеств пространства X, причем объединение и пересечение являются теоретико-множественными, Л 0 и V X. Но это следует из II, 2.2 ( с заменой А0 на А и А на поле 39 ( X) всех подмножеств пространства X), В самом деле, в силу II, 2 2 класс всех множеств вида ( 1) является полем, порожденным алгеброй А. [3]
Так как каждая дистрибутивная решетка изоморфна некоторой решетке множеств ( см. I, 9.3), то достаточно доказать наше утверждение в случае, когда А является решеткой подмножеств пространства X, причем объединение и пересечение являются теоретико-множественными, Л 0 и V X. Но это следует из II, 2.2 ( с заменой А0 на А и А на поле 5В ( Л) всех подмножеств пространства X, В самом деле, в силу II, 2 2 класс всех множеств вида ( 1) является полем, порожденным алгеброй А. [4]
Сова [102] доказал, что решетки типов не изоморфны решеткам множеств. Естественное соответствие между ними ни инъективно, ни сюръективно. Рассмотрим иерархию, изображенную на рис. 3.15. С абстрактным концептом профессора университета связано свойство обладания докторской степенью. С другой стороны, вполне вероятно, что каждый индивид из множества профессоров университета имеет докторскую степень. Следовательно, соответствующие иерархии типов и множеств, приведенные на рис. 3.15, изоморфны. [5]
Если элементы решетки А являются подмножествами пространства X, а II и П совпадают с теоретико-множественными объединением и пересечением, то Л называется решеткой множеств. [6]
Если элементы решетки А являются подмножествами про-транства X, a U и П совпадают с теоретико-множественными бъединением и пересечением, то А называется решеткой множеств. Таким образом, решетка множеств - это такой непу-той класс А подмножеств пространства X, что объединение i пересечение двух множеств из А также принадлежат А. [7]
Решетка множеств называется полной решеткой множеств, если она замкнута относительно теоретико-множественных объединений и пересечений произвольных семейств составляющих ее подмножеств. Решетка множеств может быть полной решеткой, но не быть полной решеткой множеств. Всякая полная решетка множеств одновременно является атомной и коатомной решеткой. [8]
Непустая совокупность подмножеств некоторого множества X называется решеткой ( или кольцом) множеств, если она замкнута относительно теоретико-множественных операции объединения и пересечения. Всякая решетка множеств дистрибутивна. [9]
Если элементы решетки А являются подмножествами про-транства X, a U и П совпадают с теоретико-множественными бъединением и пересечением, то А называется решеткой множеств. Таким образом, решетка множеств - это такой непу-той класс А подмножеств пространства X, что объединение i пересечение двух множеств из А также принадлежат А. [10]
Всякая неодноэлементная дистрибутивная решетка изоморфна подходящему подпрямому произведению двухэлементных цепей. Так как прямое произведение семейства Ц i e / двухэлементных цепей изоморфно решетке Р ( 1) всех подмножеств множества /, то получается, что всякая дистрибутивная решетка изоморфна подходящей решетке множеств. [11]
Если в этой последовательности нет одинаковых вершин, то путь Р называется простым. Очевидно, подмножество вершин в Г принадлежит семейству подмножеств ( Г), если и только если ни одна дуга графа Г не выходит из X. Очевидно, ( Г) есть решетка множеств, замкнутая относительно объединения. [12]
Заметим, что каждая подрешетка дистрибутивной решетки сама дистрибутивна. Если существует гомоморфизм дистрибутивной решетки А на решетку В, то В также дистрибутивна. В частности, каждая решетка, изоморфная решетке множеств, дистрибутивна. [13]