Cтраница 1
Решетка открытых подмножеств хаусдорфова топологического пространства X непрерывна тогда и только тогда, когда X локально компактно. [1]
Порядковая топология на булевой решетке регулярных открытых подмножеств интервала ( О, 1) числовой прямой не хаусдорфова. Полная модулярная орторешетка является топологической решеткой относительно порядковой сходимости. Компактная топологическая решетка топологически вкладывается в качестве подрешетки в степень единичного интервала числовой прямой в том и только том случае, когда она бесконечно дистрибутивна. [2]
Пусть L - полная решетка, для которой решетка открытых подмножеств непрерывна. Такая решетка 5L тогда и только тогда будет топологической решеткой в топологии Скотта, когда она [ ( Непрерывна. [3]
Полная решетка L тогда и только тогда обладает относительными псевдодополнениями, когда она бесконечно П - Дистрибутивна. Примерами таких решеток, кроме приводившихся ранее ( когда речь шла о бесконечной дистрибутивности), могут служить решетка идеалов дистрибутивной решетки с нулем, решетка открытых подмножеств любого топологического пространства. Однако, например, решетка замкнутых подмножеств числовой прямой уже не будет входить в этот список: не существует наибольшего замкнутого подмножества, не содержащего произвольную фиксированную точку. Любая решетка с относительными псевдодополнениями вкладывается в решетку всех открытых подмножеств подходящего компактного Го-пространства. [4]
Наличие двух посвященных интуиционизму глав не означает, что авторы положительно относятся к интуиционистским идеям Интуиционизм, как и другие неклассические логики, не имеет практического применения в математике. Тем не менее многие авторы посвящают свои работы интуиционистской логике, С другой стороны, интересен математический механизм интуиционистской логики: представляется удивительным, что смутно очерченные философские идеи относительно понятия существования в математике привели к созданию таких формализованных логических систем, которые с математической точки зрения оказались эквивалентными теории решеток открытых подмножеств в топологических пространствах. Наконец, формализация интуиционистской логики, осуществленная Рейтингом и принятая в этой книге, не согласуется с философскими воззрениями основателя интуиционизма Брауэра, который выступал против формализма в математике. Поскольку в изучении интуиционистской логики мы ограничились проблемами, непосредственно связанными с используемыми в этой книге методами из общей алгебры, топологии и теории решеток, мы не включили в книгу недавние результаты Бета и Крейсела относительно понятий выполнимости, отличных от принятого нами алгебраического понятия выполнимости. [5]
Наличие двух посвященных интуиционизму глав не означает, что авторы положительно относятся к интуиционистским идеям. Интуиционизм, как и другие неклассические логики, не имеет практического применения в математике. Тем не менее многие авторы посвящают свои работы интуиционистской логике, С другой стороны, интересен математический механизм интуиционистской логики: представляется удивительным, что смутно очерченные философские идеи относительно понятия существования в математике привели к созданию таких формализованных логических систем, которые с математической точки зрения оказались эквивалентными теории решеток открытых подмножеств в топологических пространствах. Наконец, формализация интуиционистской логики, осуществленная Рейтингом и принятая в этой книге, не согласуется с философскими воззрениями основателя интуиционизма Брауэра, который выступал против формализма в математике. Поскольку в изучении интуиционистской логики мы ограничились проблемами, непосредственно связанными с используемыми в этой книге методами из общей алгебры, топологии и теории решеток, мы не включили в книгу недавние результаты Бета и Крейсела относительно понятий выполнимости, отличных от принятого нами алгебраического понятия выполнимости. [6]
Ее философское происхождение не играет никакой роли в наших исследованиях. Позднее мы увидим, что с математической точки зрения метатеория интуиционистской логики 9 совпадает с теорией псевдобулевых алгебр в том же смысле, в каком метатеория классической логики совпадает с теорией булевых алгебр. Из установленной в главе IV теоремы о представлении следует, что теория псевдобулевых алгебр есть теория решеток открытых подмножеств топологических пространств, Поэтому изучение интуиционистской логики состоит в исследовании решеток открытых подмножеств топологических пространств. Представляется поразительным, что некоторые философские идеи привели к формулированию логики, математическое содержание которой совпадает с теорией решеток открытых подмножеств топологических пространств. [7]
Ее философское происхождение не играет никакой роли в наших исследованиях. Позднее мы увидим, что с математической точки зрения метатеория интуиционистской логики 3 % совпадает с теорией псевдобулевых алгебр в том же смысле, в каком метатеория классической логики совпадает с теорией булевых алгебр. Из установленной в главе IV теоремы о представлении следует, что теория псевдобулевых алгебр есть теория решеток открытых подмножеств топологических пространств. Поэтому изучение интуиционистской логики состоит в исследовании решеток открытых подмножеств топологических пространств. Представляется поразительным, что некоторые философские идеи привели к формулированию логики, математическое содержание которой совпадает с теорией решеток открытых подмножеств топологических пространств. [8]
Ее философское происхождение не играет никакой роли в наших исследованиях. Позднее мы увидим, что с математической точки зрения метатеория интуиционистской логики 9 совпадает с теорией псевдобулевых алгебр в том же смысле, в каком метатеория классической логики совпадает с теорией булевых алгебр. Из установленной в главе IV теоремы о представлении следует, что теория псевдобулевых алгебр есть теория решеток открытых подмножеств топологических пространств, Поэтому изучение интуиционистской логики состоит в исследовании решеток открытых подмножеств топологических пространств. Представляется поразительным, что некоторые философские идеи привели к формулированию логики, математическое содержание которой совпадает с теорией решеток открытых подмножеств топологических пространств. [9]
Ее философское происхождение не играет никакой роли в наших исследованиях. Позднее мы увидим, что с математической точки зрения метатеория интуиционистской логики 3 % совпадает с теорией псевдобулевых алгебр в том же смысле, в каком метатеория классической логики совпадает с теорией булевых алгебр. Из установленной в главе IV теоремы о представлении следует, что теория псевдобулевых алгебр есть теория решеток открытых подмножеств топологических пространств. Поэтому изучение интуиционистской логики состоит в исследовании решеток открытых подмножеств топологических пространств. Представляется поразительным, что некоторые философские идеи привели к формулированию логики, математическое содержание которой совпадает с теорией решеток открытых подмножеств топологических пространств. [10]
Ее философское происхождение не играет никакой роли в наших исследованиях. Позднее мы увидим, что с математической точки зрения метатеория интуиционистской логики 9 совпадает с теорией псевдобулевых алгебр в том же смысле, в каком метатеория классической логики совпадает с теорией булевых алгебр. Из установленной в главе IV теоремы о представлении следует, что теория псевдобулевых алгебр есть теория решеток открытых подмножеств топологических пространств, Поэтому изучение интуиционистской логики состоит в исследовании решеток открытых подмножеств топологических пространств. Представляется поразительным, что некоторые философские идеи привели к формулированию логики, математическое содержание которой совпадает с теорией решеток открытых подмножеств топологических пространств. [11]
Ее философское происхождение не играет никакой роли в наших исследованиях. Позднее мы увидим, что с математической точки зрения метатеория интуиционистской логики 3 % совпадает с теорией псевдобулевых алгебр в том же смысле, в каком метатеория классической логики совпадает с теорией булевых алгебр. Из установленной в главе IV теоремы о представлении следует, что теория псевдобулевых алгебр есть теория решеток открытых подмножеств топологических пространств. Поэтому изучение интуиционистской логики состоит в исследовании решеток открытых подмножеств топологических пространств. Представляется поразительным, что некоторые философские идеи привели к формулированию логики, математическое содержание которой совпадает с теорией решеток открытых подмножеств топологических пространств. [12]