Cтраница 1
Модулярная решетка с единственными дополнениями дистрибутивна. [1]
Любая модулярная решетка L является подпрямым произведением некоторого семейства ( возможно, бесконечного) подпрямо неразложимых модулярных решеток, каждая из которых есть гомоморфный образ решетки L. Аналогичный результат справедлив и для дистрибутивных решеток ( ТС, стр. [2]
В модулярной решетке конечной длины любую цепь можно уплотнить до максимальной цепи и любые две максимальные цепи между двумя элементами изоморфны ( УА, стр. [3]
В произвольной модулярной решетке L конечной длины существует только конечное число проективных классов звеньев и все гомоморфные образы решетки L, являющиеся подпрямо неразложимыми решетками, получаются из L отождествлением всех звеньев из каждого эквивалентного класса звеньев, за исключением одного; таким образом, все подпрямо неразложимые гомоморфные образы решетки L являются простыми решетками. Отметим, что два гомоморфных образа мы считаем совпадающими в том и только том случае, когда они индуцированы одним и тем же гомоморфизмом. Lr - все различные простые гомоморфные образы решетки L, то L является подпрямым произведением этих решеток. [4]
Не всякая модулярная решетка дистрибутивна. Но она не дистрибутивна: дистрибутивный закон нарушается для трех ее атомов. [5]
Полная непрерывная сверху модулярная решетка с дополнениями называется непрерывной геометрией. Непрерывная геометрия L называется антидистрибутивной, если ни для какого ненулевого а из L решетка av не является дистрибутивной. [6]
Важнейший класс модулярных решеток описывается следующей теоремой. [7]
Важнейшим примером модулярной решетки является решетка всех подпространств линейного пространства. Модулярными оказываются и решетки всех нормальных подгрупп произвольной группы, всех идеалов любого кольца, всех подмодулей всякого модуля. Напротив, решетки всех подгрупп группы, всех линейных многообразий аффинного пространства и всех эквива-лентностей на данном множестве могут не быть модулярными. [8]
Таким образом, модулярные решетки образуют эква-ционаяьный класс, или многообразие решеток. Следовательно, любой гомоморфный образ и любая под решетка модулярной решетки модулярны и прямое произведение модулярных решеток является модулярной решеткой. [9]
Так как всякая модулярная решетка О-модулярна, отсюда получается теорема Биркгофа - фон Неймана. [10]
Показать, что модулярная решетка имеет конечную длину в том и только том случае, когда любая цепь этой решетки конечна. Привести примеры ( i) бесконечной модулярной решетки конечной длины и ( ii) произвольной решетки бесконечной длины, все цепи которой конечны. [11]
Пусть L - модулярная решетка конечной длины, в которой любые два проективных интервала перспективны. [12]
Существует другое представление модулярных решеток, в некоторой степени двойственное к представлению из теоремы 5.4, которое также используется при изучении разложений элементов колец. [13]
Каждый ненулевой элемент полной атомной модулярной решетки L с дополнениями представляется как точная верхняя грань некоторого множества атомов. Если модулярная решетка с дополнениями удовлетворяет условию минимальности, то каждый ее элемент представляется как сумма конечного множества атомов. Любой интервал атомной модулярной решетки с дополнениями является атомной решеткой. Если L - непрерывная сверху модулярная решетка и ее единица равна точной верхней грани множества всех ее атомов, то L атомна, обладает дополнениями и каждый ее отличный от нуля элемент представляется как точная верхняя грань некоторого множества атомов. Если модулярная решетка конечной длины является решеткой с относительными дополнениями, то она разлагается в прямое произведение конгруэнц-простых решеток с дополнениями, также имеющих конечную длину. [14]
Первый из них-это класс модулярных решеток. Решетка называется модулярной, если она удовлетворяет двум тождествам аксиомы L5 § 5.1. Представим эту аксиому в более простом виде. [15]