Cтраница 1
Риман широко привлекает и геометрические идеи, ведущие начало от Эйлера и основанные на том, что аналитические функции комплексного переменного определяют конформное отображение одной области на другую. При этом Риман допускает, что соответствие, устанавливаемое аналитической функцией между областями, может и не быть взаимно однозначным, и для восстановления взаимной однозначности создает новый геометрический образ - многолистные поверхности, которые носят теперь имя римановых поверхностей. [1]
Риман, по-видимому, не был знаком с работами Лобачевского и Бойаи, хотя они хорошо были известны К. Бельтрами опубликовал свой классический труд по интерпретации неевклидовых геометрий ( 1868), где он исследовал результаты Лобачевского, Бойаи и Римана, и доказал, что метрические свойства пространства являются только определениями. Из этих исследований выяснилось, что все три типа геометрий возможны для поверхностей постоянной кривизны: геометрия Лобачевского - на поверхности постоянной отрицательной кривизны, римаиова - на поверхности постоянной положительной кривизны и евклидова - на поверхности нулевой кривизны. Эти геометрии называются также соответственно: гиперболическая, эллиптическая и параболическая. Рассмотрим их вкратце в нижеследующем параграфе. [2]
Риман предложил использовать это свойство минимальности для доказательства теоремы существования. Разница с приведенным выше подходом заключается в том, что он рассматривал значения D ( w), когда w пробегает все те функции класса C. Q), которые непрерывны на Q и совпадают на Q с заданной непрерывной функцией на Q. [3]
Риман, О распространении волн конечной амплитуды. [4]
Риман, Шварц и Вейерштрасс нашли минимальные поверхности MO С условием дМо Г, явно задавая конформные отображения ( в соответствии с теорией Римана) и представления Вейерштрасса ( это хорошо изложено в книге Дарбу [ Darb. Сегодня мы находим MO с помощью другой техники. Дуглас и Радб доказали, что любая спрямляемая жорданова кривая Г в Rn ограничивает некоторый диск MO наименьшей площади [ Doug. [5]
Риман исследовали ( в переменных Лагранжа) фигуры равновесия с изменяющейся эллипсоидальной формой. [6]
Риман начинает с установления понятия о многообразии ( Mannigfaltigkeit) как о совокупности элементов - объектов, выделенных, включенных в его состав определенными признаками. В настоящее время термину многообразие предпочитают другой: по почину Кантора его называют множеством. Это очень широкое понятие: всякая совокупность конкретных или абстрактных объектов, всякий коллектив вещей, понятий, идей представляет собой множество. [7]
Риман изучает множества особой категории, именно такие, в каждом из которых элемент может быть определен несколькими числовыми заданиями или, просто говоря, несколькими числами; количество этих чисел характерно для множества. [8]
Риман показал, что как существуют разного рода линии и поверхности, так существуют и разного рода пространства трех измерений и что мы можем лишь опытным путем установить, какого рода то пространство, в котором мы живем. В частности, в рамках опытов на поверхности листа бумаги верны аксиомы геометрии на плоскости, но мы знаем, что в действительности лист испещрен множеством малых рубчиков и бороздок, на которых ( поскольку полная кривизна не равна нулю) эти аксиомы несправедливы. Точно так же, утверждает он, хотя аксиомы стереометрии верны в рамках опыта для конечных участков нашего пространства, у нас все же нет оснований заключать, что они верны и для очень малых участков; и у нас были бы основания заключить, что для очень малых участков пространства они неверны, если бы это могло помочь в объяснении физических явлений. [9]
Риман развил Гаусса еще и в другом направлении, исходя из исследования относительно кривых поверхностей. Эта мера кривизны может также быть выражена в форме К l / pip27 где рх, р2 обозначают главные радиусы кривизны исследуемой поверхности в данной точке. Особый интерес представляют поверхности, мера кривизны которых имеет во всех точках одно и то же значение, поверхности с постоянной мерой кривизны. Если представлять поверхности как бесконечно тонкие, нерастяжимые, но сгибаемые тела, то поверхности с равной мерой кривизны могут при сгибании быть наложены друг на друга; так, например, можно плоский лист бумаги обернуть вокруг цилиндра или конуса, но этот лист бумаги не может быть наложен на поверхность шара. При этой деформации и даже при любом сгибании измерительные отношения длин и углов фигур, начерченных в поверхности, остаются без изменения, если только при измерении не выходить из двух измерений поверхности. Мера кривизны поверхности вовсе не зависит от формы последней в третьем измерении пространства, а только от ее внутренних измерительных отношений. Отсюда Риман пришел к мысли распространить понятие меры кривизны на пространство трех и больше измерений. В соответствии с этим он допускает возможность конечных беспредельных пространств с постоянной положительной мерой кривизны, соответственно беспредельной, но конечной шаровой поверхности двух измерений, между тем как, по нашему обычному представлению, бесконечное пространство соответствует бесконечной плоскости с мерой кривизны, равной нулю; наконец, третий род пространства соответствовал бы поверхностям с отрицательной мерой кривизны. [10]
Риман показал, как при помощи дифференцирования можно получить характеристическую величину - тензор кривизны, определяющий вид геометрии. Если все компоненты тензора кривизны равны нулю, то геометрия евклидова, в противном случае - неевклидова. [11]
Риман в своей диссертации ( см. [76]) указал, а Липшиц [87] впервые доказал, что и наоборот, если всюду удовлетворяется соотношение ( И6) т то следуют упомянутые свойства Лп. Фермейль [90] при помощи разложения линейного элемента в степенной ряд в нормальных координатах дал простое доказательство теоремы, заключающееся в том, что задание тензора кривизны однозначно определяет форму линейного элемента в нормальных координатах. Указание на эту теорему имеется уже у Ри-мана. [12]
Риман в другой работе дал приложение аналитич. Рямана в связи с физикой. Римана его идеи привлекли внимание ряда математиков, к-рые развивали дальше аналитич. Леви-Чи - вита на рубеже 20 в. [13]
Риман, не все являются эквивалентными с точностью до конформных преобразований. [14]
Риман полагал, что изменение окажется изэнтропическим, следовательно, энтропия останется без изменений сквозь ударную волну. Общее энергосодержание ( энтальпия) остается без изменений, тогда как энтропия всегда увеличивается сквозь ударную волну. После Ранкина и Гюгонио ряд ученых продолжили изучение ударных волн. Наука об ударных волнах очень важная, не только в аэродинамике, но также в баллистике и в теории взрывов, детонаций, а также, возможно, в космогонии. Она действительно стала отдельной отраслью физической науки. Если мы наблюдаем за явлениями в процессе движении с ударной волной, то, по-видимому, ударная волна находится в состоянии покоя, а воздух проходит через нее. В этом случае мы говорим о стоячей ударной волне. Скорость потока впереди ударной волны должна стать сверхзвуковой, потому что ударная волна распространяется по воздуху, находящемуся в состоянии покоя, со скоростью больше скорости звука. Во время перехода через ударную волну скорость, плотность и температура претерпевают внезапные изменения. Если скорость приближающегося потока перпендикулярна ударной волне, то скорость позади ударной волны становится дозвуковой; направление течения не изменяется. Если скорость приближающегося потока не является перпендикулярной ударной волне, то составляющая скорости, параллельная ударной волне, остается без изменений при прохождении фронта волны. Однако составляющая скорости, перпендикулярная ударной волне, изменяется от сверхзвуковой до дозвуковой величины, так что поток отклоняется. В соответствии с этой теоремой, безвихревое течение впереди ударной волны, пройдя сквозь ударную волну, может остаться безвихревым, только если волна прямая. Если ударная волна искривлена, то она создает завихренную область. Именно этот факт делает анализ движения позади ударной волны довольно сложным. [15]