Cтраница 1
Роль аксиомы, эквивалентной 13 - прямая имеет по меньшей мере три точки - впервые изучалась Фано. Система аксиом I была введена с целью выделения из общего понятия проективной плоскости понятия конечной проективной плоскости. [1]
Обнаруженные закономерности играют роль аксиом в процессе логического вывода на втором этапе распознавания - дедуктивном. Основная идея такого вывода заключается в следующем. Допустим, исследуется некоторый новый объект того же класса. Установлено, что одними признаками он обладает, других не имеет. Относительно остальных признаков ничего не известно - то ли они присущи данному объекту, то1 ли нет. [2]
Но это сравнение, пожалуй, недостаточно для оценки роли рассматриваемой аксиомы. [3]
Метод образующих и соотношений подобен аксиоматическому методу в миниатюре, где роль аксиом играют соотношения. Рассмотрим сначала пример, а затем дадим точное определение. [4]
Ее следующий раздел будет посвящен анализу одного из хороших стандартных учебников по интересующему нас предмету с точки зрения выявления роли аксиомы выбора в структуре этой математической дисциплины. В остальных разделах будут рассмотрены отдельные оригинальные рассуждения математиков XIX в. При этом основное внимание будет уделено тем рассуждениям, в которых соответствующие факты появлялись в их более или менее первоначальном виде. [5]
ПОСТУЛАТ - суждение, принимаемое в рамках какой-либо научной теории за истинное, хотя и не доказуемое ее средствами, и поэтому играющее в ней роль аксиомы. [6]
Далее, подобно тому, как классическая механика может быть развита не только на основе трех законов Ньютона, а также на основе некоторых других положений, играющих роль аксиом, развитие термодинамики также возможно осуществить различными путями. В различных вариантах в качестве отправных могут приниматься различные положения, причем остальные законы и соотношения окажутся тогда следствиями первых. [7]
В 1644 г. ученик Галилея Торричелли ( 1608 - 1647) опубликовал труд О движении естественно падающих и брошенных тел, в котором исходил из следующего принципа, игравшего у него роль аксиомы: Два груза, соединенных вместе, не могут двигаться сами без того, чтобы их общий центр тяжести не опускался. В самом доле, когда два груза связаны друг с другом так, что движение одного влечет за собой движение другого - безразлично, получается ли такая связь посредством весов, блока или другого механизма - оба будут вести себя словно один груз, состоящий из двух частей; но такой груз никогда не придет в движение без того, чтобы его центр тяжести не опускался. [8]
Метод исчерпывания вновь становится необходимым при вычислении площадей криволинейных фигур, например, площади круга и его частей ( см. сноску на стр. В связи с этим роль неэлементарной аксиомы ( а) смазывается. А так как и формула площади прямоугольника, как правило, дается в школе без аккуратного и полного доказательства, то у школьников создается впечатление, что теория площадей основывается только на аксиомах ( 3), ( 7), ( 6), а аксиома ( а) является ненужной. [9]
Гильберта аксиом евклидова пространства. С другой стороны, выясняется и роль аксиом непрерывности в построении евклидовой геометрии на основе аксиом Гильберта. В частности, без аксиом непрерывности невозможно доказать эквивалентность евклидовой аксиомы параллельности предложению о равенстве суммы внутренних углов любого треугольника двум прямым углам. [10]
Теоретическая механика, как и другие естественные науки, широко пользуется методом абстракций. Применение этого метода и обобщение результатов непосредственных наблюдений, производственной практики и опыта позволили установить некоторые общие положения ( законы), играющие роль аксиом. Все дальнейшие выводы классической механики могут быть получены из этих аксиом при помощи логических рассуждений и математических вычислений. Учитывая также, что теоретическая механика рассматривает преимущественно количественные соотношения, становится ясным, какую важную роль в пей играет математический анализ. Однако большая насыщенность, теоретической механики математикой и отсутствие на протяжении большей части курса экспериментальных работ не означает, что теоретическая механика не нуждается в опыте для подтверждения правильности своих положений и выводов. [11]
Известно, что термодинамика достигла высокой степени теоретического развития независимо от этих представлений; логическая схема ее была доведена до чисто дедуктивного ( аксиоматического) построения, где некоторое небольшое число основных принципов играет роль аксиом, из которых затем все дальнейшие закономерности выводятся уже чисто логическим путем. Основные принципы ( аксиомы) понимаются при этом как законы природы, найденные опытным путем. Поэтому задача обоснования термодинамики на базе тех пли иных представлений о строении материи всегда сводится к обоснованию этих аксиом и может считаться решенной, как только обоснование этих принципов закончено. [12]
Перечисленные аксиомы, как и аксиомы геометрии, не доказываются. Они являются обобщением многовекового опыта практической деятельности человека. Роль указанных аксиом в алгебре аналогична роли аксиом в геометрии: как в геометрии теоремы выводятся из аксиом геометрии, так и алгебраические утверждения выводятся из аксиом действительных чисел. [13]
Перечисленные аксиомы, как и аксиомы геометрии, не доказываются. Они являются обобщением многовекового опыта практической деятельности человека. Роль указанных аксиом в алгебре аналогична роли аксиом в геометрии: как в геометрии теоремы выводятся из аксиом геометрии, так и алгебраические утверждения выводятся из аксиом действительных чисел. [14]
Поскольку с деталями можно легко ознакомиться [26], мы ограничимся кратким резюме. Оказалось возможным правильно рассортировать оставшиеся семь формул. Пять из них, как выяснилось, не подходят на роль единственной аксиомы, каждая из двух других может служить единственной аксиомой исчисления эквивалентности. [15]