Cтраница 1
Росток векторного поля с нерезонансной линейной частью на комплексной плоскости либо аналитически эквивалентен своей линейной части ( соответствующие достаточные условия приведены в § 1 главы 4), либо даже топологически ей неэквивалентен ( В. В первом случае орбитальная топологическая классификация проста, во втором - почти не исследована. [1]
Росток векторного поля класса Bq аналитически эквивалентен своей предварительной нормальной форме, если и только если соответствующий функциональный инвариант тривиален. [2]
Деформация ростка векторного поля в особой точке называется Сп-гладко ( орбитально) версальной, если любая деформация этого ростка - гладко ( орбитально) эквивалентна индуцированной из исходной. [3]
Деформация ростка векторного поля в особой точке называется конечногладко ( орбитально) версальной, если для любого k у нее существует представитель, являющийся Сй-гладко ( орбитально) версальной деформацией этого ростка. [4]
В частности, рассмотрим росток векторного поля в особой точке, для которого вещественные части собственных значений, соответствующих гиперболическим переменным, образуют нерезонансный набор. [5]
Пусть v - гиперболический сильно однорезо-нансный росток векторного поля в особой точке. [6]
Указание и исследование версальной деформации ростка векторного поля является способом концентрированного представления результатов очень полного исследования бифуркаций фазового портрета. [7]
Аналогично определяется конечногладко ( орбитально) вер-сальная деформация ростка векторного поля на цикле и диффеоморфизма в неподвижной точке. [8]
Эти теоремы описывают какие мономы тейлоровского разложения ростка векторного поля можно убить с помощью аналитической замены координат. Полученная при этом нормализованная нелинейность содержит так мало членов, что два ростка с разными нормализованными нелинейностями аналитически неэквивалентны. [9]
Интегрируемые конечно гладкие нормальные формы удается получить для деформаций ростков векторных полей в гиперболической неподвижной точке или ростков векторных полей на гиперболическом цикле, в предположении, что линеаризация соответствующих ростков нерезонансна или имеет однократный резонанс. Удается также написать конечно гладкую версальную деформацию ростка векторного поля с одним нулевым собственным значением в особой точке. [10]
Многообразие Wc в этой теореме называется центральным многообразием, плоскость Г ФГ - плоскостью гиперболических переменных. Следующая теорема утверждает, что при исследовании топологии нелинейного ростка векторного поля важно только ограничение этого ростка на центральное многообразие, а гиперболические переменные можно не учитывать. [11]
Теорема Камачо и Сада ( ( С. Числа р, q и k составляют полный набор топологических инвариантов ростка седлового резонансного векторного поля. [12]
Брюно i [ 18: 31 ] нашел необходимое ж достаточное условие для того, чтобы класс ростков аналитических векторных полей, формально эквивалентных ростку с несоизмеримым по Брюно спектром линейной части, совпадал с классом ростков, аналитически эквивалентных этому ростку - так называемое условие А. А одновременно; поэтому условие А является условием на сам росток, а не только на его нормальную форму. Формулировка этого условия громоздка и здесь не приводится. Отметим в качестве примера, что росток векторного поля иа плоскости с линейной частью рхд / дх - qyd / ду ( р и q натуральные) удовлетворяет условию А, если и только если росток орбитально аналитически эквивалентен своей линейной части. Кроме того, условие А автоматически выполнено для всех ростков с линейной частью типа Пуанкаре. В области Зигеля условие А выполняется редко. [13]
С - гладкая классификация деформаций ростков векторных полей в особой точке с парой чисто мнимых собственных значений также имеет функциональные инварианты. Получим ( конечно гладкую) деформацию ростка векторного поля с линейной частью типа центр на плоскости. Преобразование монодромии, соответствующее продеформированному ростку, имеет две гиперболические неподвижные точки ( для тех значений параметра, которым соответствует цикл продеформированного уравнения): одна точка - особая, другая принадлежит циклу. Функциональный инвариант С - классификации таких преобразований построен выше. [14]