Cтраница 1
Рутисхаузер показал [70, 95, 97], что если собственные значения матрицы А различны, то в общем случае матрица As стремится к верхней треугольной, диагональные элементы которой суть собственные значения, расположенные в порядке убывания их модулей. [1]
Рутисхаузером в 1955 г.) рассчитан только на вещественные матрицы с вещественными собственными значениями. Зато для почти треугольных матриц он требует всего 2п2 действий на одну итерацию, а для ленточных матриц дает еще большую экономию. [2]
АР-алгоритм ( предложен Рутисхаузером и Баузром в 1955 г.) тоже содержит преобразование матрицы к квазитреугольной форме. [3]
Назовем лишь некоторых из авторов - Рутисхаузер, Уилкинсон, Уэлш, Стьюарт, Глаус, Перейра и Сэк. Можно подумать, что каждый автор устранял дефект в программе предшественника лишь затем, чтобы допустить свой собственный мало заметный просчет. Казалось, что цепочка завершилась статьей [ Reinsch, 1971 ], где был дан простой и устойчивый алгоритм под названием TQLRAT. Однако программа Райнша имеет особенность, которая иногда мешает вычислению малых собственных значений с максимальной возможной относительной точностью. Поиски оптимальной реализации все еще не закончены. [4]
Так, например, специалист-математик по вычислительным машинам в США Рутисхаузер в выступлении на конференции обратил внимание на то, что цифровые арифметические машины и моделирующие машины слишком громоздки по сравнению с ЦДА для бортовых машин. [5]
Очевидно следует ожидать, пока не стабилизируются отношения Релея, и Рутисхаузер требует выполнения трех аппроксимаций Релея - Ритца. [6]
Код 2421, в отличие от кода 8421, не удовлетворяющего требованию 4, удовлетворяет всем требованиям Рутисхаузера, Справедлива теорема ( [35], стр. [7]
Самым прекрасным примером того, насколько хорошо метод итерирования подпространства может быть приспособлен к автоматизации вычислений, является программа Рутисхаузера RITZIT, которая приведена как алгоритм II.9 Справочника. Программа достаточно сложна, чтобы быть эффективной для широкого круга применений. Тем не менее она понятна, и при ее создании были затрачены значительные усилия, чтобы сократить количество вопросов, по которым пользователь должен принимать самостоятельные решения. Следующие три раздела описывают некоторые аспекты этой разработки. [8]
А - 9 -) у - известно, а расстояние у гпт а / 1 - а. Рутисхаузер использует значения б для аппроксимации расстояния у и, таким образом, получает вычислимую оценку угла ошибки, которая может сравниваться с требуемой точностью. [9]
Те, кто имеет опыт вычислений, знают, что заданные пользователем требования к точности могут иногда быть недостижимыми. Поэтому Рутисхаузер встроил в простую меру ошибки ( г / / у) дополнение, которое обеспечивает, что работа программы будет закончена даже в тех случаях, когда требуемая точность выше, чем может достигнуть программа. [10]
Они относятся к универсальным алгоритмам. Алгоритм Рутисхаузера [22, 106] основан на разложении матрицы G на произведение двух треугольных G LR, где L - нижняя треугольная матрица с единичными элементами на главной диагонали, R - верхняя треугольная матрица. Такая факторизация всегда существует, если главные диагональные миноры матрицы G не обращаются в нуль. Из соотношения L GL L 1 ( LR) L RL следует, что произведение сомножителей в обратном порядке является матрицей, подобной G. В пределе L стремится к Е, a G 1 - к верхней треугольной матрице с собственными значениями Ка со на главной диагонали в порядке убывания. Поэтому для сокращения объема вычислений исходную матрицу следует сначала привести к верхней почти треугольной форме. Если вместо G использовать матрицу G - уЕ, то элемент gn, стремится к нулю, как l ( kn - у) / ( 1 - у) ], и если у - достаточно хорошее приближение к, то gn ( Д будет быстро убывать. [11]
Это уравнение может быть решено только приближенно. Для его численного решения можно использовать стандартный алгоритм Рутисхаузера [97], который представим в следующем виде. [12]
Роберт Лейтон был давним коллегой Фейнмана и работал вместе с ним над Лекциями. Как-то раз ужиная у Лейтонов, Фейнман обнаружил, что сын Роберта, Ральф, и друг Ральфа, Том Рутисхаузер, - страстные барабанщики и в то же время, говоря словами Дика, настоящие музыканты: Ральф играл на пианино, а Том - на виолончели. Ральф вспоминает, что тогда ему было лет 17 и что, хотя Фейнман был представлен Ральфу, когда тот был совсем еще маленьким ( и подарил ему старую печатную машинку, когда Ральфу было шесть лет), именно тогда Ральф впервые действительно узнал Ричарда. [13]
С практической точки зрения QL-алгоритм решает проблему вычисления собственных значений малых матриц. Тем не менее он был изобретен лишь в 1958 - 1959 годах, а по достоинству оценен в середине 1960 - х годов. Ключевая идея принадлежит Рутисхаузеру, который в 1958 году построил родственный метод, называемый LR-алгоритмом. [14]
Первые процедурно-ориентированные языки программирования высокого уровня предназначались для решения инженерных и научно-технических задач, в которых широко применяются методы вычислительной математики. Значительную часть программ решения таких задач составляют арифметические и логические выражения. Рутисхаузера [51], в которой впервые предлагался метод трансляции арифметических выражений, разработано много различных методов. [15]