Cтраница 1
Ряд простых чисел конечен или бесконечен. Естественно предположить, что ряд простых чисел бесконечен. Если бы он кончался, все целые числа могли быть разложены на конечное число простых чисел, и мир оказался бы, так сказать, слишком бедным. Таким образом, возникает задача доказать, что ряд простых чисел бесконечен. [1]
Предположим, что ряд простых чисел обрывается. [2]
Мы доказали исходную теорему ( что ряд простых чисел бесконечен) тем, что опровергли не совместимую с ней противоположную теорему ( что ряд простых чисел конечен), ибо последняя привела нас к явному абсурду. [3]
Как следует понимать утверждение, что ряд простых чисел бесконечен. Итак, что нужно предпринять, чтобы доказать существование бесконечного ряда простых чисел. Мы должны указать, каким образом можно найти простое число, отл ич ное от всех известных. Требуется найти новое простое число, отличное от. [4]
Было найдено много других доказательств бесконечности ряда простых чисел. Доказательство Эйлера ( 1737 года) носит особый характер. Оно оказалось тем семенем, из которого позже выросли многие достижения, поэтому мы приведем его здесь практически полностью. Подобно доказательству Эвклида, оно тоже идет от противного. Итак, предположим, что существует только конечное число простых чисел, и пусть р - наибольшее из них. [5]
Итак, нельзя было принять, что ряд простых чисел конечен: предположение это приводит к противоречию. Таким образом, какую бы длинную серию последовательных составных чисел мы ни встретили в ряду натуральных чисел, мы можем быть убеждены в том, что за нею найдется еще бесконечное множество простых чисел. [6]
Существование сколь угодно длинных серий последовательных составных чисел способно возбудить сомнение в том, действительно ли ряд простых чисел не имеет конца. [7]
Мы доказали исходную теорему ( что ряд простых чисел бесконечен) тем, что опровергли не совместимую с ней противоположную теорему ( что ряд простых чисел конечен), ибо последняя привела нас к явному абсурду. [8]
В примерах, приведенных нами для пояснения теории, обычно с достаточной точностью можно приниматьg98Q см ] сек2, или 32 фут сек - последняя цифра особенно удобна для вычислений в уме благодаря своей делимости на ряд простых чисел. [9]
Сколько существует простых чисел. Обрывается ли где-нибудь ряд простых чисел. Один из наиболее часто применяемых в математике способов доказательства состоит в том, что вместо прямого утверждения пытаются доказать противоположное ему утверждение. [10]
Ряд простых чисел конечен или бесконечен. Естественно предположить, что ряд простых чисел бесконечен. Если бы он кончался, все целые числа могли быть разложены на конечное число простых чисел, и мир оказался бы, так сказать, слишком бедным. Таким образом, возникает задача доказать, что ряд простых чисел бесконечен. [11]
Так как 7V, очевидно, больше а, и а, согласно предположению, есть наибольшее из простых чисел, то N должно быть числом составным. Значит, наибольшего простого числа не существует; а если нет наибольшего простого числа, то ряд простых чисел бесконечен. [12]
Ряд простых чисел конечен или бесконечен. Естественно предположить, что ряд простых чисел бесконечен. Если бы он кончался, все целые числа могли быть разложены на конечное число простых чисел, и мир оказался бы, так сказать, слишком бедным. Таким образом, возникает задача доказать, что ряд простых чисел бесконечен. [13]
Возьмем - в этом суть идеи - любой простой делитель числа Q ( например, наименьший) и обозначим его N. Конечно, если Q простое число, то N - Q. Таким образом, ни одно из этих чисел не может равняться N, так как N является делителем Q. Это доказательство представляет собой определенный прием, при помощи которого можно вновь и вновь продлить ряд простых чисел до бесконечности. [14]
Раз число Q больше Р, то поэтому Q, очевидно, не может быть простым числом. Следовательно, Q должно делиться на простое число. Следовательно, Q не делится ни на одно из вышеприведенных простых чисел, которые согласно нашему предположению представляют собой все имеющиеся простые числа. Значит, в наших рассуждениях где-то есть ошибка. Или Q должно быть простым числом, или же оно должно делиться на какое-нибудь простое число. Исходя из предположения, что существует последнее простое число Р, мы пришли к явной нелепости. Тем, что наше первоначальное предположение ошибочно. Такого последнего простого числа Р быть не может. Таким образом, нам удалось доказать, что ряд простых чисел бесконечен. [15]