Cтраница 1
Ряды Тэйлора также можно суммировать при помощи f - матриц ( § 4.2), вместо применения Г - матриц к частичным суммам этих рядов. [1]
Хотя у гладких функций тоже имеются ряды Тэйлора ( см. пример 3.9 и упр. [2]
Функции комплексного переменного, разлагающиеся в степенные ряды ( ряды Тэйлора), называются аналитическими функциями. Они изучаются в разделе математики, называемом теорией аналитических функций или теорией функций комплексного переменного. [3]
Подставим (7.109) в (7.108), затем разложим все сеточные функции в ряды Тэйлора. [4]
Рассмотрения распределений вероятностей в функциональном пространстве можно избежать, допустив, что функции ui (, t), i I, 2, 3 - аналитические по всем переменным и поэтому разлагаются в ряды Тэйлора. Тогда можно заключить, что все ла-гранжевы величины должны выражаться через значения эйлеровой скорости и всех ее частных производных в одной точке пространства-времени. [5]
Заметим, что, разыскивая решения в виде обобщенных степенных рядов или рядов ( 45) более общего вида, мы, так же как и ери интегрировании степенными рядами, можем иногда получить решение в элементарных функциях, если степенные ряды, входящие в решения, обрываются или представляют собою ряды Тэйлора известных элементарных функций. [6]
Приведенные результаты позволяют сделать определенные выводы и о поведении спектров поля и () в окрестности нулевой точки пространства волновых векторов. В таком случае и фунции 62 ( k), a / ( k) и a2 ( k) в правой части (5.72) также могут быть разложены в ряды Тэйлора. Но из условий (5.73) легко следует, что а / ( 0) 0 при всех /, так что и а2 ( 0) 0; поэтому ясно, что ряды Тэйлора функций a / ( k) начинаются с членов первого порядка, а функций a2 ( k) и b2 ( k) - с квадратичных членов. [7]
Необходимо должен быть некоторый предел для такого разложения. Наконец, последний случай это тот, когда - функция имеет вещественные особенности, которые не могут быть достигнуты никаким кругом сходимости. Таким образом, видны неудобства, которые представляют ряды Тэйлора. В следующей главе мы введем новые ряды, более приспособленные к исследованию аналитических функций вещественных переменных. Среди различных применений этих новых рядов наиболее важным является доказательство теоремы Гильберта. [8]
Не вдаваясь в детали вычислений, мы видим, что если применять метод последовательных приближений, то в правую часть постоянно входит производная второго порядка. В действительности же это доказывает только, что форма, в которой Пикар представил свое решение, вообще говоря, более не применима. Это, впрочем, не удивительно и является простым следствием того факта, что вообще ряды Тэйлора плоха приспособлены для изучения функций вещественных переменных. Иными словами, метод Пикара, который является подлинным методом решения задачи Дирихле, должен непременно быть недостаточным, если комплексные особенности искомой функции расположены ближе к центру О, чем особенности вещественные. [9]
Определим решения wl ( z) и w % ( z) по их начальным условиям в точке ze, причем возьмем эти условия так, чтобы w ( ze) и wf ( zu) выражались вещественными числами. Принимая во внимание, что коэффициенты уравнения Гаусса также вещественны, получим для wt ( z) и wt ( z) в окрестности точки z0 ряды Тэйлора с вещественными коэффициентами. При всяком другом выборе решений новая функция - q ( z) получится из прежней дробно-линейным преобразованием, а такое преобразование переводит отрезок вещественной оси в дугу окружности. [10]
Определим решения w1 ( z) и wz ( z) по их начальным условиям в точке 20, причем возьмем эти условия так, чтобы w ( z0) и w ( z0) выражались вещественными числами. Принимая во внимание, что коэффициенты уравнения Гаусса также вещественны, получим для w - ( z) и w % ( z) в окрестности точки г0 ряды Тэйлора с вещественными коэффициентами. При всяком другом выборе решений новая функция Y) ( г) получится из прежней дробно-линейным преобразованием, а такое преобразование переводит отрезок вещественной оси в дугу окружности. Таким образом, действительно, функция ( 107) преобразует каждый из отрезков ( 109) в некоторую дугу окружности. [11]
Приведенные результаты позволяют сделать определенные выводы и о поведении спектров поля и () в окрестности нулевой точки пространства волновых векторов. В таком случае и фунции 62 ( k), a / ( k) и a2 ( k) в правой части (5.72) также могут быть разложены в ряды Тэйлора. Но из условий (5.73) легко следует, что а / ( 0) 0 при всех /, так что и а2 ( 0) 0; поэтому ясно, что ряды Тэйлора функций a / ( k) начинаются с членов первого порядка, а функций a2 ( k) и b2 ( k) - с квадратичных членов. [12]