Cтраница 1
Равномерно сходящиеся ряды ( и последовательности) непрерывных функций комплексной переменной, как и аналогичные ряды в действительной области, обладают свойствами конечных сумм, в частности сумма такого ряда является функцией, непрерывной на множестве, где ряд сходится равномерно. Кроме того, ряд можно почленно интегрировать. [1]
Вследствие доказанной теоремы Вейерштрасса равномерно сходящиеся ряды аналитических функций имеют особо важное значение, так как их суммы являются функциями аналитическими. Отсюда весьма важное значение приобретает проблема об изыскании критериев, более или менее широких, достаточных для равномерной сходимости ряда аналитических функций. [2]
Доказано ( см. [26]), что в равномерно сходящиеся ряды такого вида могут быть разложены функции, удовлетворяющие нек-рым условиям аналитичности. [3]
Это следует из того, что обе эти функции представляют собой равномерно сходящиеся ряды из функций, обладающих всеми указанными свойствами. [4]
Это дифференцирование законно в полуплоскости Re ( t) 1, поскольку равномерно сходящиеся ряды аналитических функций можно почленно дифференцировать в любой внутренней точке области равномерной сходимости. [5]
Мы ставим также вопрос о том, какие операции можно совершать над непрерывными функциями, чтобы получать равномерно сходящиеся ряды Фурье. [6]
Однако, начиная с работы Н. П. Еругина ( 1946), на основе первого метода Ляпунова стали строить и равномерно сходящиеся ряды в окрестности этих точек. Таким образом, как мы показали выше, и в вопросах устойчивости при разных конструкциях рядов, формально удовлетворяющих дифференциальным уравнениям, одни из них будут сходящимися, а другие расходящимися. Впрочем, может быть, некоторые классы удастся изучить вторым методом в чистом виде по Ляпунову или другими аналогичными методами. [7]
Следует иметь в виду, что выделение из сходящихся рядов, рядов равномерно сходящихся, как это будет видно дальше, является существенным, так как равномерно сходящиеся ряды во многих отношениях ведут себя так же, как конечные суммы, тогда как о рядах, сходящихся неравномерно, этого сказать нельзя. [8]
В теории рядов функций комплексной переменной, так же как и в случае действительной переменной, особую роль играет понятие равномерной сходимости. Например, как помнит читатель из курса анализа1), сходящийся ряд непрерывных функций далеко не всегда сходится к непрерывной функции. В то же время сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций всегда является непрерывной функцией. Равномерно сходящиеся ряды функций комплексной переменной, так же как и в случае действительной переменной, обладают рядом весьма важных свойств, к изучению которых мы и перейдем. [9]
Положим теперь, что числа а и а2 входящие в диагональную матрицу 7 0 ( 1, я. Вводя вместо У новую искомую матрицу Y eKCY, мы получим для Y уравнение вида ( 345), в котором Г0 есть диагональная матрица з 1, аг1 ] с чисто мнимыми числами на главной - диагонали. Будем считать, что уже уравнение ( 345) обладает этим свойством. Если при этом матрица 1 равна нулю, то без изменения применим указанный выше метод, и мы получаем равномерно сходящиеся ряды и асимптотические представления. Если Г0 [ а, а ], то подстановка Y e - axY приводит для Y к системе с регулярной особой точкой на бесконечности. [10]