Cтраница 1
Условно сходящиеся ряды по своим свойствам существенно отличаются от обычных конечных сумм. Например, для них справедливо следующее утверждение: в условно сходящемся ряде можно так переставить члены, что полученный ряд будет сходиться к любому наперед заданному числу. [1]
Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Важный класс сходящихся рядов образуют так называемые абсолютно сходящиеся ряды. [2]
Абсолютно и условно сходящиеся ряды, Важный класс сходящихся рядов образуют так называемые абсолютно сходящиеся ряды. [3]
Этот пример показывает, что условно сходящиеся ряды нельзя перемножать так, как перемножаются конечные суммы. [4]
Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. [5]
Абсолютно и условно сходящиеся ряды. [6]
Из теории рядов известно, что в ряде, условно сходящемся, вообще говоря, нельзя переставлять члены без изменения его суммы. Более того, существует предложение, в силу которого условно сходящиеся ряды с комплексными членами разбиваются на две группы. Для каждого из рядов первой группы существует такая прямая, что путем перестановки членов ряда можно получить из него новый сходящийся ряд, сумма которого изображается любой точкой прямой; при этом невозможно получить ни одною ряда, сумма которого изображается точкой, не лежащей на одной прямой. [7]
Из теории рядов известно, что в ряде, условно сходящемся, вообше говоря, нельзя переставлять члены без изменения его суммы. Более того, существует предложение, в силу которого условно сходящиеся ряды с комплексными членами разбиваются на две группы. Для каждого из рядов первой группы существует такая прямая, что путем перестановки членов ряда можно получить из него новый сходящийся ряд, сумма которого изображается любой точкой прямой; при этом невозможно получить ни одного ряда, сумма которого изображается точкой, не лежащей на этой прямой. [8]
Указанное разграничение абсолютной и неабсолютной сходимос-тей рядов является весьма существенным. Оказывается, что некоторые свойства конечных сумм переносятся только на абсолютно сходящиеся ряды; условно сходящиеся ряды этими свойствами не обладают. [9]
Заметим, что деление сходящихся рядов на абсолютно и условно сходящиеся существенно. Дело в том, что абсолютно сходящиеся ряды обладают рядом важных свойств, тогда как условно сходящиеся ряды некоторыми из этих - свойств не обладают. [10]
Следует иметь в виду, что деление сходящихся рядов на абсолютно и условно сходящиеся весьма существенно. Оказывается, что основные свойства конечных сумм переносятся только на абсолютно сходящиеся ряды, тогда как условно сходящиеся ряды некоторыми из этих свойств не обладают. [11]
Перемножая два условно сходящихся ряда, мы можем в результате получить, вообще говоря, расходящийся ряд. Таким образом, теорема об умножении рядов неприменима к условно сходящимся рядам. Однако, как мы увидим далее, эта теорема может быть распространена на условно сходящиеся ряды, если a priori известно, что в результате их умножения получается сходящийся ряд. [12]
Абсолютно и условно сходящиеся ряды. [13]