Cтраница 1
Свойства кривизны для взвешенных средних порядка р следуют из знака матрицы Гессе. [1]
Свойства кривизны сопутствующего пространства некоторых космологических моделей, рассматриваемых в квазиньютоновском приближении, Астр, журн. [2]
Чем определяются свойства кривизны. Они определяются распределенными в пространстве и времени энергиями. Пространство и время существуют только через посредство физических процессов, которые в них разыгрываются. Только от последних получают они свою структуру. [3]
Таким образом, свойства кривизны изотропного пространства определяются лишь одной постоянной. [4]
Таким образом, мы видим, что свойства кривизны изотропного пространства определяются всего одной постоянной X. [5]
Иногда простое применение формулы второй вариации позволяет установить связь между свойствами кривизны и строением риманова многообразия в целом. [6]
Жан Менье, впоследствии член Парижской Академии наук и и генерал французской армии, под влиянием работ Эйлера изучавший свойства кривизны плоских сечений поверхности, открыл важнейшую теорему, носящую его имя. [7]
Кубическая сплайн-функция, удовлетворяющая условиям s ( - l) s ( xn) 0, называется естественным кубическим сплайном. С математической точки зрения ( Алберг и др. ( 1967)) доказано, что она является единственной функцией, обладающей свойством минимальной кривизны, среди всех функций, интерполирующих данные точки и имеющих квадратично интегрируемую вторую производную. В этом смысле естественный кубический сплайн есть самая гладкая из функций, интерполирующих заданные точки. [8]
Частицы осадка, например, под действием силы тяжести стремятся занять положение, характеризующееся минимумом потенциальной энергии, следовательно, границы геологических тел удовлетворяют минимум поверхности. Для минимальных поверхностей, натянутых на заданный контур, доказано равенство нулю интеграла от их средней кривизны. Так как основное свойство сплайнов - свойство минимальной кривизны, в этом усмотривают сходство сплайнов с геологическими поверхностями. [9]
Вычисления упрощаются, если построенное многообразие имеет достаточно богатую группу изометрий, в частности в случае однородных римановых многообразий, у которых группа изометрий транзитивна и тензор кривизны во всех точках устроен одинаково. С однородными римановыми многообразиями естественно связаны алгебраические объекты: группы и алгебры Ли с определенными свойствами, причем открывается возможность описывать геодезические и находить секционные кривизны в терминах скобки Ли. Это позволяет на основе алгебраических конструкций строить столь нужные геометрии примеры римановых многообразий с предписанными свойствами кривизны. [10]
В предыдущем параграфе мы видели, что операции 1, 2, 5 и 6 в формуле (6.7.46) приводят к тривиальным операторам второго порядка, поскольку дают нуль, если операторы V коммутируют. Тем не менее оказалось, что они играют существенную роль. В случае искривленного пространства-времени ( или в присутствии электромагнитного взаимодействия) эти операции тоже не приводят к операторам второго порядка. В данном параграфе для нас важно то, что из конформной инвариантности этих операций вытекают конформные свойства кривизны. [11]
Можно показать, что такой механический сплайн принимает форму, минимизирующую его потенциальную энергию [98], которая, как установлено в теории упругости, пропорциональна интегралу по длине дуги от квадрата кривизны сплайна. Из отмеченного обстоятельства следует, что сплайн-функция к ( х) является кубическим полиномом между каждой соседней парой узлов интерполяции и что соседние полиномы соединяются между собой непрерывно, так же как их первые и вторые производные. Кубическая сплайн-функция, удовлетворяющая условиям к ( х) з ( хп) - 0, называется естественным кубическим сплайном. С математической точки зрения доказано, что в этом случае она является единственной функцией, обладающей свойством минимальной кривизны, среди всех функций, интерполирующих данные точки и имеющих квадратично-интегрируемую производную. В этом смысле естественный кубический сплайн есть самая гладкая из функций, интерполирующих данные точки. Иногда при интерполировании посредством кубических сплайнов вместо естественных граничных условий накладывают какие-либо другие два требования на концах или вблизи концов сплайна. [12]