Cтраница 1
Свойства притяжения изучаются в этой и в следующей главах. Здесь в отличие от глав I-V начало координат не будет играть особую роль: мы не будем предполагать, что оно является критической точкой дифференциальных уравнений и даже что оно принадлежит множеству и. Причина этого станет ясна, как только мы перейдем к приложениям: притяжение множества часто возникает как естественный вопрос. [1]
Это многообразие обладает свойством притяжения, поскольку любая траектория системы (4.1), выходящая из точки ( хй, уй, г0) при / 0, неограниченно приближается к траектории ( х, О, 0), лежащей на многообразии. [2]
Доказательство, носящее очень общий характер, комбинирует использование свойства притяжения процесса и некоторые соображения, связанные с производством ( вероятностной) энтропии, описанным в разд. В каплдаге между рассматриваемым процессом и процессом, стартующим при начальном распределении i / c, конфигурации локально упорядочены согласно свойству притяжения, что позволяет справиться с нелинейностью, вызванной знаком. [3]
Интегральное многообразие z h ( y) системы (2.3) обладает свойством притяжения траекторий этой системы, начинающихся вне многообразия. [4]
Можно доказать, что система (1.6) имеет инвариантную кривую 5 % обладающую свойством притяжения в следующем смысле. [5]
Были установлены также и более тонкие результаты, относящиеся к случаям, когда в окрестности решений осредненной - системы появляются многообразия решений, имеющие размерность меньшую, чем порядок системы, и обладающие свойствами притяжения или отталкивания близких решений. [6]
M) h для всех значений t е [ - Т, 0 ], то для точки у - х ( - Т) мы имели бы неравенства d ( yT, М) d ( x, М) е ц, и d ( y, М) h Д, противоречащие свойству равномерного притяжения. Это и доказывает лемму. [7]
Неустойчивому состоянию равновесия соответствует неустойчивая особая точка на фазовой плоскости. Такая точка не обладает свойством притяжения для всех расположенных вблизи нее изображающих точек. В малой окрестности, окружающей неустойчивую особую точку, существуют изображающие точки, которые удаляются от нее. Точка 0 % на рис. 11.2 является неустойчивой особой точкой. [8]
Понятие асимптотической устойчивости, введенное А. М. Ляпуновым, связано с дополнительным к устойчивости требованием о беспредельном стремлении достаточно близких движений к исследуемому инвариантному множеству. Детальный анализ многих публикаций, затрагивающих свойство притяжения, показывает, что для замкнутых множеств можно выделить несколько заслуживающих внимания определений притяжения. [9]
К со / - замкнутая выпуклая оболочка множества /, то К компактно и имеется выпуклая окрестность В множества К, такая что у ( В) ограничено и / ( н поэтому / С) притягивает В, т.е. имеются выпуклые подмножества / C Bs5 пространства X, причем К компактно, S замкнуто и ограничено, а В открыто в S, так что v ( B) sS и К притягивает В. Для вложенных одно в другое множеств такого типа даже с более слабыми свойствами притяжения можно доказать следующий интересный результат. [10]
Доказательство, носящее очень общий характер, комбинирует использование свойства притяжения процесса и некоторые соображения, связанные с производством ( вероятностной) энтропии, описанным в разд. В каплдаге между рассматриваемым процессом и процессом, стартующим при начальном распределении i / c, конфигурации локально упорядочены согласно свойству притяжения, что позволяет справиться с нелинейностью, вызванной знаком. [11]
Точно так же сказалось у Дальтона влияние метафизических концепций на основное понятие всей его системы - понятие атома. Атом простого вещества у Дальтона представляет собой твердый, не подверженный никаким изменениям кусочек весомой материи, всегда равный самому себе и другим атомам того же элемента, не делимый и не разложимый, не способный к какому бы то ни было развитию, безразличный к окружающей его среде и наделенный только свойством притяжения. [12]
Действительно, предположим, что точка А является локальным экстремумом, отличающимся от глобального. Тогда малые шаги всегда будут неудачными, но после каждой неудачи мы возвращаемся в исходную точку, а поскольку вероятность шага в любую точку области поиска отлична от нуля, мы рано или поздно вырвемся из притяжения локального экстремума и попадем в лучшее положение. Введение свойств притяжения, предпочтения к достигнутому характеризует уже знакомую локальную идею: лучшее может быть только вблизи хорошего. Допущение же больших шагов революционизирует эту несколько консервативную концепцию и делает законным поиск лучшего в условиях, резко отличных от уже сложившихся хороших. [13]
В реальных системах могут устанавливаться только режимы, соответствующие устойчивым состояниям равновесия. Устойчивому состоянию равновесия на фазовой плоскости соответствует устойчивая особая точка. Последняя обладает свойством притяжения для всех расположенных вблизи нее точек. Это значит, что любая изображающая точка, помещенная в малую окрестность, окружающую устойчивую особую точку, будет приближаться к ней. Так, особая точка О; на рис. 11.2 является устойчивой. [14]
Отметим, что для задачи об устойчивости М требование iii) ( а оно в данном случае равносильно асимптотической устойчивости М относительно Y) является чрезмерно жестким. В действительности системы, обладающие первыми интегралами, как правило, порождают лишь неасимптотическую устойчивость. Поэтому с целью установления устойчивости М напрашивается идея замены свойства притяжения iii) на свойство устойчивости М по отношению к множеству Y. Однако, как показывает следующий пример, такая простая замена требования не дает желаемого результата. [15]