Cтраница 2
Рассмотрим теперь построение щ) хней границы любого подобного множества А вещественных чисел. Но чтобы это опре-деле ние имело какой-нибудь смысл, необходимо не только, чтобы понятие свойства рациональных чисел было ясно и однозначно, но также чтобы совокупность всех возможных свойств была в себе определена, ограничена и принципиально обозрима, ибо определение это. А и присуще числу х) имеет смысл, относится к некоторому объективно данному обстоянию, позволяющему отвечать на вопрос либо утвердительно, либо отрицательно. Но это далеко не очевидно. Действительно, допустим, что удалось каким-либо образом наметить подобный определенный в себе и ограниченный круг свойств рациональных чисел ( я буду называть их х-свойствами), и пусть А будет, как и выше, некоторое свойство свойств. В таком случае вопрос существует ли х-свойство рода А, присущее рациональному числу х, имеет ясный смысл. В случае утвердительного ответа на него мы припишем числу х свойство д в противном случае скажем, что оно ему не принадлежит. Но с другой стороны, совершенно очевидно, что это свойство д ( определенное на основе совокупности всех х-свойств) согласно своему значению лежит вне х-круга. Здесь обнаруживается, что понятие свойство рациональных чисел, как я позволю себе выразиться, не объемно-определенно ( umfangs-definit), и наше определение верхне - границы содержит в себе порочный круг. Конечно, не исключена возможность того, что свойство д равноббъемно с каким-нибудь х-свойством. Таким образом, чтобы придать положению о существовании верхней границы всякого множества вещественных чисел ясный смысл и чтобы установить истинность его, требуется следующее: должна быть построена определенная в себе и ограниченная совокупность свойств, х-свойств, для которой можно было бы доказать, что некоторое свойство д, построенное по вышеуказанной схеме из совокупности х-свойств, постоянно равнообъемно с определенным х-свойством. Попытка подобного построения никогда еще не была предпринята, не существует ни малейшего намека на то, что подобное построение возможно, оно a priori столь чудовищно невероятно, что ни от кого нельзя разумным образом требовать заняться этой задачей. [16]