Cтраница 1
Свойства выпуклых функций, указанные в теореме 2, являются также и достаточными для выпуклости. [1]
Свойство выпуклой функции быть собственной не обязательно сохраняется при инфимальной конволюций, ибо нижняя грань в формуле из теоремы 5.4 может оказаться равной - то. Нельзя определить этой формулой и инфимальную конволюцию несобственных функций, ибо при этом может встретиться выражение оо - оо. [2]
А из свойств выпуклых функций легко выводится утверждение леммы. [3]
Прежде всего установим несколько свойств выпуклых функций. [4]
Сейчас мы перечислим несколько свойств выпуклых функций, которые были нужны нам в основном тексте. [5]
Свойства вогнутых функций симметричны свойствам выпуклых функций. [6]
Для удобства приведем здесь ряд свойств выпуклых функций, которые часто оказываются полезными. [7]
Впоследствии нам придется подробнее знакомиться со свойствами выпуклых функций; в данное время мы говорим о них лишь в связи с понятием выпуклой последовательности. [8]
В методе штрафных функций находят применение следующие два свойства выпуклых функций. [9]
Для вогнутых функций, как следует из их определения и свойств выпуклых функций, равенство нулю производных в некоторой точке является необходимым и достаточным условием их максимума в данной точке. [10]
Сравнивая эти определения с определениями 2.1.1 - 2, видим, что выпуклость у функций и функционалов определяется совершенно одинаково, поэтому неудивительно, что многие свойства выпуклых функций остаются верными и для функционалов. В частности, теоремы 2.1.1 - 3 и их доказательства остаются справедливыми и в fi - пространствах, нужно лишь в формулировках этих теорем и доказательствах слово функция заменить на функционал. Впрочем, скоро убедимся, что в бесконечномерных пространствах такая аналогия может быть продолжена далеко не всегда. [11]
Последнее неравенство можно интерпретировать и в вероятностно-статистическом смысле, а именно: математическое ожидание выпуклой функции случайного аргумента всегда больше или равно значению функции в средней точке. Именно на этом свойстве выпуклых функций базируются последующие математические выкладки и выводы технологического характера. [12]
Функция / ( X) вогнута тогда и только тогда, когда функция - / ( X) выпукла. Поэтому свойства вогнутых функций могут быть получены перефразировкой соответствующих свойств выпуклой функции. [13]