Cтраница 1
Обобщенные собственные значения п.с.к.н. называются квантовыми числами. [1]
Каждая граничная точка спектра оператора А есть обобщенное собственное значение (12.826), следовательно, по лемме а - обычное собственное значение; из леммы б, таким образом, следует, что вне круга k с у вполне непрерывного оператора А может быть лишь конечное число граничных точек спектра. [2]
Для вполне непрерывного оператора в банаховом пространстве X каждое обобщенное собственное значение, отличное от 0, является обычным собственным значением. [3]
Покажем теперь, что всякая граничная точка спектра оператора А является обобщенным, собственным значением. [4]
Из / 2.77 можно вывести, что спектр оператора А состоит лишь из обобщенных собственных значений. [5]
Спектр оператора А умножения на г в пространстве С есть окружность г 1; спектр этого же оператора в пространстве Z есть круг г 1; при этом значения z - 1 являются обобщенными собственными значениями оператора А в Z и только они. [6]
Легко показать, что оператор умножения на v ( ф является самосопряженным с чисто непрерывным спектром, состоящим как раз из тех значений, которые принимает функция v ( с) ( в этом случае обобщенным собственным значениям А. Для степенных потенциалов при п 5 спектр простирается от VQ до бесконечности, а при п 5 заполняет отрезок от vo до нуля; при п 5 спектр v vo состоит из одной точки Я - VQ с бесконечной кратностью вырождения. [7]
XN) j есть спектр п.с.к.н. (1.5), где Л k - спектр наблюдаемой Ak. Это означает, что Л есть множество обобщенных собственных значений, если спектр Ak непрерывен, или набор дискретных собственных значений, если спектр Ak дискретен, и есть множество всех непрерывных и дискретных собственных значений, если Ak имеет как дискретный, так и непрерывный спектр. V Ч) обозначает суммирование по дискретному спектру и интегрирование по непрерывному спектру. [8]
Число Я, лежащее в спектре оператора А, в бесконечномерном случае может уже не быть собственным значением оператора А. Всякое собственное значение оператора, очевидно, является и обобщенным собственным значением. [9]
Если Н имеет дискретный набор собственных значений, спектр называется дискретным. Непрерывный набор собственных значений х, собственные векторы для которых участвуют в обобщенном разложении по собственным векторам ( 4.4 в), называется непрерывным спектром оператора Q. В общем случае, а это зависит от свойств пространства Ф, существует большее количество обобщенных собственных векторов Q, т.е. кет-векторов, для которых выполнено соотношение ( 4.3 в) и точное определение которых дано в разд. Но для самосопряженного оператора всегда существует действительное подмножество множества обобщенных собственных значений, для которого соответствующий набор собственных векторов является полным. [10]