Cтраница 2
В общем случае задача сводится к поиску вектора w, удовлетворяющего уравнению вида Aw AmaxW, где Лпах - наибольшее собственное значение матрицы А. Поскольку матрица А положительна по построению, решение данной задачи существует и является положительным. [16]
Первое неравенство следует из того, что А - наименьшее собственное значение матрицы AI, a A m i - наибольшее собственное значение матрицы А. Подробное обоснование неравенства (8.29) оставлено в качестве упражнения. [17]
Методы, основанные на принципе восхождения на холм, используют один или несколько следующих критериев ( функций качества кластеризации): trW, trW - JВ, det W и наибольшее собственное значение матрицы W - 1B, где W - объединенная внутригрупповая ковариационная матрица, в В - объединенная межгрупповая ковариационная матрица. Каждая из этих статистик часто рассматривается в многомерном дисперсионном анализе ( MANOVA); их применение выводится из статистической теории, заложенной в MANOVA. Фактически все четыре критерия связаны с обнаружением однородности кластеров в многомерном пространстве. Таким образом, процедура й-средних минимизирует дисперсию внутри каждого кластера. Важно отметить, однако, что итерации по принципам fe - средних и восхождения на холм, используя критерий irW, приведут к различным результатам при одних и тех же исходных данных. [18]
Предложенная Леонтьевым динамическая межотраслевая модель является классическим примером использования систем дифференциальных уравнений в исследовании проблем экономического роста. При некоторых условиях величина, обратная наибольшему собственному значению матрицы, определяет максимально возможный ( технологический) темп прироста экономики, а соответствующий этому значению собственный вектор характеризует необходимые пропорции между объемами производства продукции на магистральном ( с максимальным темпом прироста) участке экономического развития. [19]
На практике эксперт сам формирует матрицу А, при этом предполагается, что диагональные элементы равны 1, а для элементов симметричных относительно диагонали az-j l / az jj T - e - если один элемент оценивается в а раз сильнее, чем другой, то этот последний должен быть в I / a раз сильнее, чем первый. В общем случае задача сводится к поиску вектора w, удовлетворяющего уравнению вида Aw Amaxw, где Amax - наибольшее собственное значение матрицы А. Поскольку матрица А положительна по построению, решение данной задачи существует и является положительным. [20]
Кроме рассмотренных чисел Kyi и / ( у2 Тюринга, для оценки обусловленности матр иц Д. К. Фаддеевым предложено число Ях, равное Ях - / Xi Vx где Xi - наибольшее собственное значение матрицы АТА; х - наименьшее собственное значение этой матрицы. Здесь индексом т отмечено транспонирование матрицы А. [21]
Степень обусловленности - это коэффициент, который должен отражать отклонение формы области поиска от сферической, и быть малым для почти сферической выпуклой области и большим, если область имеет неудачную форму; фактическое его значение зависит и от конкретного алгоритма. Естественно, показатель обусловленности должен выбираться на основании прошлого опыта. В случае градиентных методов при минимизации без ограничений в качестве степени обусловленности можно взять отношение наибольшего собственного значения матрицы Гессе для целевой функции к наименьшему ее собственному значению, причем матрица Гессе вычисляется в оптимальной точке. [22]
Заканчивая разбор данной темы, коротко рассмотрим вопрос выбора р и R. Простейшим вариантом выбора R является единичная матрица, в случае которой Л2р / - р2У ( У. Данная матрица будет положительно определенной, что гарантирует условие сходимости, если 0р2Дтах, где Ятах является наибольшим собственным значением матрицы У У. [23]