Cтраница 1
Сепарабельность пространства Е в последнем утверждении существенна. [1]
Сепарабельность пространства I устанавливается так. [2]
Услонин сепарабельности пространств Орлича, Известия АН СССР, серии матем. [3]
Доказательство сепарабельности пространства С ( [ а, Ь ] предоставляем читателю. [4]
Необходимое условие сепарабельности пространства Орлича. Как было показано выше, пространство ЕМ всегда сепарабельно. [5]
С метрикой связаны понятия полноты и сепарабельности пространств, имеющие важное значение в вопросах существования решений и применимости приближенных методов; эти вопросы, однако, выходят за рамки данной книги. [6]
Замечание 18.4. При отказе от требования сепарабельности пространства Е доказательство теоремы 18.4 усложняется. Это множество ff частично упорядочено по включению, причем каждое линейно упорядоченное его подмножество имеет мажоранту, а потому по лемме Цорна существует максимальный элемент. Из этой последовательности можно выделить обобщенную подпоследовательность uv - w o, причем Р Тия - У-Последние соотношения, так же как раньше, приведут к утверждению теоремы. [7]
В действительности достаточно существенно более слабого предположения о сепарабельности пространств х и у. Напомним, что топологическое пространство называется сепарабельным, если оно содержит счетное всюду плотное подмножество. То, что всякое вполне ограниченное, а тем более компактное пространство сепарабель-но, вытекает непосредственно из определений. [8]
ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЙ ОПЕРАТОР, вполне непрерывное отображение - непрерывный оператор /, действующий из одного банахова пространства X в другое пространство У и переводящий слабо сходящуюся в X последовательность в последовательность, сходящуюся по норме в У. При этом предполагается сепарабельность пространства X ( для У это требование необязательно; впрочем, область значений В. Другими словами, оператор / вполне непрерывен, если он отображает произвольное ограниченное подмножество X в компактное подмножество У. [9]
Для определения мощности семейства компонент связности ф-объекта достаточно согласно теореме 1.3 ограничиться рассмотрением открытого ф-объекта. Ясно, что компонента связности открытого ф-объекта - открытое множество. Для всякой из этих точек можно указать окрестности, полностью лежащие в соответствующей компоненте связности. Это всегда возможно в силу сепарабельности пространства. Множество точек с рациональными координатами счетно. Поэтому множество компонент связности ф-объекта будет не более чем счетно. [10]
Скажем несколько слов о положительных результатах. Фогель [2] заметил, что в любом пространстве сумма ( или произведение) двух коммутирующих спектральных операторов спектральна тогда и только тогда, когда сумма ( или произведение) их скалярных частей является спектральным оператором. Кроме того, Данфорд [ 18 и Фогель [1] доказали, что если Ж слабо полно, то сумма и произведение спектральных операторов снова являются спектральными операторами, если булева алгебра, порожденная их спектральными мерами, ограничена. Маккарти [2,1] показал, что если один из операторов имеет конечную кратность, то сумма спектральных операторов является спектральным оператором; более того, для некоторых сепарабельных рефлексивных пространств это условие необходимо. Позже Маккарти [2,11] доказал, что если g и вр - коммутирующие ограниченные булевы алгебры проекторов в Lp, 1 р С, то булева алгебра, порожденная g и jF, ограничена. Из этого замечательного результата вытекает, что сумма и произведение коммутирующих спектральных операторов в Lp, 1 р оо, являются спектральными операторами; никаких условий на кратность операторов или сепарабельность пространства здесь не налагается. [11]