Cтраница 1
Топологическая динамика берет свое начало со знаменитой работы Пуанкаре [118] по качественной ( или геометрической) теории обыкновенных дифференциальных уравнений. [1]
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ЭНТРОПИЯ - понятие топологической динамики и эргодической теории, аналогичное мотрич. Для открытого покрытия 31 компакта X через Д ( 9Г) обозначается логарифм ( обычно двоичный) наименьшего числа элементов покрытия, к-рые все еще покрывают X. [2]
С этой точки зрения изолирующие блоки можно отнести к так называемой топологической динамике, однако по своему духу они весьма далеки от этой дисциплины в ее теперешнем виде. [3]
Мы завершим этот раздел рассмотрением класса преобразований, которые играют в топологической динамике ту же роль, что и сдвиги Бернулли в эргодической теории. [4]
Приведенные в этом параграфе результаты позволяют решить одну из проблем качественной теории топологической динамики, известную как проблема В. В. Немыцкого о существовании эллиптических точек покоя. В работе [62] им был поставлен вопрос о возможности существования точки р, обладающей окрестностью DI: такой, что L ( x) L ( x) - р V х е Up. Ладис в работе [49] показал, что в связном локально компактном, но некомпактном метрическом пространстве X не существует эллиптических особых точек. Элементарным примером эллиптической точки служит точка покоя динамической системы, заданной на окружности, где нет других особых точек. [5]
Кроме того, редукция динамического процесса к динамической системе позволяет применить методы топологической динамики для изучения устойчивоподобных свойств движений динамического процесса. [6]
Весьма полное изложение общей теории динамических систем () В том числе и топологической динамики) имеется в монографии Немыцкого и Степанова [95], гл. [7]
В последних четырех главах дается описание тех разделов теории информации, эргодической теории, статистической механики и топологической динамики, на которые понятие энтропии оказало наиболее сильное влияние. Эти главы можно читать независимо друг от друга. Примеры показывают, как идеи, возникшие в одной области, воздействовали на другие области. Недавние применения энтропии в статистической механике и топологической динамике приводятся в гл. В главе 4, посвященной эргодической теории, описывается развитие принадлежащей Колмогорову идеи применения энтропии Шеннона к изучению автоморфизмов пространств с конечной мерой. Кульминацией этой деятельности явилось приведенное в этой главе доказательство теоремы Колмогорова - Орнстейна об изоморфизме. [8]
В курсы аналитической динамики включаются новые разделы, такие, например, как симметрия и законы сохранения, дифференциальная динамика, топологическая динамика, групповые свойства движения, многообразия в динамике, управление движениями. [9]
Применения эти находятся как в самой математике, так и в других науках и имеют перекрытия с другими умонастроениями, такими, как топологическая динамика, теория особенностей, теория бифуркаций, неравновесная термодинамика, синергетика... [10]
Предлагаемая читателю монография Мартина и Ингленда является достаточно полным и последовательным изложением тех разделов математической теории энтропии, которые связаны с кодированием, динамическими системами, инвариантной мерой, топологической динамикой и др. или коротко - с энтропийной теорией динамических систем. Книга восполняет пробел в отечественной литературе: хотя, как хорошо известно, именно советским математикам принадлежит заслуга создания и разработки собственно математической теории энтропии в различных ее аспектах, и хотя в разное время ими опубликованы глубокие итоговые обзоры в журналах и специальных изданиях ( см. далее), монографий, посвященных этой теме на русском языке, к сожалению, не было. [11]
В этой книге мы стремились дать достаточно полное и замкнутое изложение теории энтропии и ее обобщений, доступное читателю, знакомому со стандартным курсом абстрактной теории меры, и хотели показать применения энтропии в теории информации, эргодическои теории и топологической динамике. Мы не делали попытки описать современное состояние этих дисциплин; напротив, скорее ограничились лишь теми областями, на которые оказали влияние понятие энтропии Шеннона и ее развитие Колмогоровым и Синаем. Таким образом, наша цель двояка: во-первых, дать замкнутое изложение всех основных свойств энтропии и ее модификаций с достаточно подробными доказательствами; во-вторых, представить картину применений энтропии в тех областях математики, где она успешно использовалась. Основное внимание мы уделяем эргодическои теории, поскольку именно здесь были получены наиболее впечатляющие результаты. [12]
Замечание 4.1. Близкое к теореме 4.1 и следствию 4.1 утверждение содержит лемма и теорема 9 главы 1 монографии [20], которые определяют критерий асимптотической устойчивости компактного инвариантного множества. Исследованию аналогичного характера посвящены и теоремы 6.1.1 и 6.2.1 [101], где дается описание окрестности компактных инвариантных множеств средствами топологической динамики. [13]
В последних четырех главах дается описание тех разделов теории информации, эргодической теории, статистической механики и топологической динамики, на которые понятие энтропии оказало наиболее сильное влияние. Эти главы можно читать независимо друг от друга. Примеры показывают, как идеи, возникшие в одной области, воздействовали на другие области. Недавние применения энтропии в статистической механике и топологической динамике приводятся в гл. В главе 4, посвященной эргодической теории, описывается развитие принадлежащей Колмогорову идеи применения энтропии Шеннона к изучению автоморфизмов пространств с конечной мерой. Кульминацией этой деятельности явилось приведенное в этой главе доказательство теоремы Колмогорова - Орнстейна об изоморфизме. [14]
В современной теории устойчивости движения, основы которой созданы великими учеными А. Пуанкаре и А. М. Ляпуновым, происходит непрерывное совершенствование методов решения задач как иа аналитическом уровне, так и иа уровне применения качественного анализа. Само же развитие методов теории устойчивости происходит не непрерывно. Исходными для развития теории являются существенно новые идеи. Селла, К. С. Сибирского, Б. А. Щербакова показана возможность использования методов топологической динамики при изучении асимптотического поведения неавтономных дифференциальных уравнений. [15]