Cтраница 1
Серии бифуркаций, связанные с числом вращения Пуанкаре. [1]
Все эти серии бифуркаций будут рассмотрены в § 2 гл. [2]
Свойство вложенности структур обнаруживается не только в связи с сериями бифуркаций увеличения кратности неподвижной точки, но и в гомоклинических структурах, в расположении синхронизмов гамильтоновых систем [65], в неоднократно отмечаемой канторовой структуре странных аттракторов. [3]
Если в работе А. С. Алексеева исследовалась конкретная система автоматического регулирования, для которой были обнаружены серии бифуркаций удвоения и явления, получившие позднее название перемежаемости, то в работах [234, 235] Н. Н. Леонова рассмотрения носят общий характер. [4]
На рис. 7.35 показана область, где все синхронизмы иерархии структур оказываются седловыми из-за завершения серий бифуркаций удвоения периода с синхронизмами всех рангов. [5]
Периодическое движение теряет устойчивость, но одновременно появляется устойчивое периодическое движение удвоенного периода. Эта последняя трансформация может повторяться много раз, образуя бесконечную серию бифуркаций удвоения периода. [6]
Кроме того, с одной из неподвижных точек каждой родившейся пары происходит бесконечная серия бифуркаций удвоения кратности. [7]
Они возникают в процессе сближения и касания интегральных многообразий седловых равновесий или седловых периодических движений. Касания инвариантных многообразий S и S - приводят к возникновению гомоклинических структур или их изменениям как на уровне исходных инвариантных многообразий, так и новых, возникающих в гомоклинической структуре. Эти серии бифуркаций состоят в попарном рождении периодических движений разных типов, например Г2 2 и Гзд, и последующем трансформировании периодического движения Г3 1 по типу серии бифуркаций удвоения периода. В результате возникает как бы двойная серия бифуркаций рождения пар и последующих удвоений одного из движений в каждой паре. Проводимое там рассмотрение следует лишь несколько продолжить с точки зрения происходящих в этих ситуациях бифуркаций. [8]
Они возникают в процессе сближения и касания интегральных многообразий седловых равновесий или седловых периодических движений. Касания инвариантных многообразий S и S - приводят к возникновению гомоклинических структур или их изменениям как на уровне исходных инвариантных многообразий, так и новых, возникающих в гомоклинической структуре. Эти серии бифуркаций состоят в попарном рождении периодических движений разных типов, например Г2 2 и Гзд, и последующем трансформировании периодического движения Г3 1 по типу серии бифуркаций удвоения периода. В результате возникает как бы двойная серия бифуркаций рождения пар и последующих удвоений одного из движений в каждой паре. Проводимое там рассмотрение следует лишь несколько продолжить с точки зрения происходящих в этих ситуациях бифуркаций. [9]
Они возникают в процессе сближения и касания интегральных многообразий седловых равновесий или седловых периодических движений. Касания инвариантных многообразий S и S - приводят к возникновению гомоклинических структур или их изменениям как на уровне исходных инвариантных многообразий, так и новых, возникающих в гомоклинической структуре. Эти серии бифуркаций состоят в попарном рождении периодических движений разных типов, например Г2 2 и Гзд, и последующем трансформировании периодического движения Г3 1 по типу серии бифуркаций удвоения периода. В результате возникает как бы двойная серия бифуркаций рождения пар и последующих удвоений одного из движений в каждой паре. Проводимое там рассмотрение следует лишь несколько продолжить с точки зрения происходящих в этих ситуациях бифуркаций. [10]
Фейпмана [353] есть очень образное описание возникновения турбулентности с ростом числа Рейпольдса. Нарисованная там картина и ее возросшая сложность по сравнению с более ранними описаниями как нельзя лучше соответствует параллельно и независимо идущему процессу усложнения представлений теории бифуркаций. Последующее изложение имеет целью прояснить все возможные метаморфозы фазового портрета, которые могли бы отвечать переходу ламинарного течения в турбулентное и вообще устойчивого равновесного состояния в хаос. Ото изложение не посит исчерпывающего характера, оно лишь в общих чертах описывает картину. После описания дерева возможных бифуркаций более подробно рассматриваются серии бифуркаций. Затем описываются бифуркации в двух конкретных и достаточно детально изученных динамических системах - системе Лоренца и нелинейном параметрически возбуждаемом осцилляторе и ротаторе. Эти примеры позволяют достаточно подробно проследить пути возникновения порядка и хаоса. [11]