Cтраница 1
Значетя функцш z и частныхъ производныхъ ея, выведен-ныя изъ общаго интеграла, принадлежащего уравнение ( 1), должны удовлетворять этому последнему. При такомъ выборй но-выхъ перем Ьнныхъ, на основати доказаннаго выше ( § 4, гл. I), выражетя частныхъ производныхъ функцш z могутъ быть однородны или разнородны съ интеграломъ относительно а; и въ посл Ьднемъ случай въ выражешяхъ каждаго порядка частныхъ производныхъ отъ z будутъ содержаться татя произвольныя функцш отъ а, которыхъ не находится ни въ интеграл, ни въ выражетяхъ производныхъ предыду-щихъ порядковъ. [1]
Подстановкою значетя в въ предыдущее уравнен. [2]
Если въ данное уравнете вставимъ предыдущая значетя z и / z и значетя Dz, D z, получаемый изъ предыдущихъ уравнетй, прилагая къ каждому изъ нихъ fl-buc TBie D, то не трудно убедиться пов - Ьркрю, что таким образомъ мы удовлетворимъ данному уравнешю. Но для того, чтобы зна-чен. [3]
G им - Ьютъ данный выше значетя. Предполагая, что функщя F выполняетъ вей необходимыя услов. [4]
Ьстныхъ k v могутъ полз чать лишь значетя 0 и 1, a hv им ютъ значен. [5]
Очевидно, мы удовлетворить данному уравнение подстановкою значетя z, доставляемаго первымъ изъ двухъ предыду-щихъ уравнетй, если только выведенное изъ него зна-чете zt будетъ равно тому, которое даетъ второе изъ предыду-щихъ уравнетй. Следовательно, функщя и должна быть определена по услов. [6]
Для этого достаточно замгн-тить, что данный выше значетя а и ( 9 получаются какъ алгебраичесюя pimeHifl двухъ cninyronpixb уравнен. [7]
Если теперь вставимъ вместо z, 2, zy, ихъ значетя ( 5), то первая часть равенства ( 7) приведется къ нулю, потому что ut, и2, и3 ( Mii К2) из) обратятся соответственно въ ац 6, с. J, с); следовательно, и вторая часть равенства ( 7) должна быть равна нулю. [8]
Но еслибъ мы вывели изъ уравнетй J) и ( с) значетя двухъ изъ величинъ z, 2 /, z, и снова вставили въ нихъ эти значетя, то, очевидно, получили бы тождества. Следовательно, точно также получится тождество и въ результате подстановки этихъ значешй въ данное уравнеше. [9]
Если въ данное уравнете вставимъ предыдущая значетя z и / z и значетя Dz, D z, получаемый изъ предыдущихъ уравнетй, прилагая къ каждому изъ нихъ fl-buc TBie D, то не трудно убедиться пов - Ьркрю, что таким образомъ мы удовлетворимъ данному уравнешю. Но для того, чтобы зна-чен. [10]
Ьва таблицы, указываютъ перем - Ьнное, въот-ношенш котораго взяты производный; наконецъ внизу каждаго столбца показаны значетя комбинаций вида ( А, В) функцщ этого столбца съ предыдущими. Собственно дли вычислетя въ умЪ этихъ комбинащй и удобна предыдущая таблица. [11]
Ясно, что зд сь выражешя [ F, / ] и ( F, /) не им Ьютъ одного и того же значетя; первое предполагаетъ полную изм няе-мость, функщй F и /, BwrbflCTsie изм нещн перем Ьнныхъ, входящихъ какъ явнымъ, такъ и неявнымъ образомъ; рое - только частную ихъ изменяемость, BcniflCTBi перем Ьнныхъ, входящих явно. [12]
Но еслибъ мы вывели изъ уравнетй J) и ( с) значетя двухъ изъ величинъ z, 2 /, z, и снова вставили въ нихъ эти значетя, то, очевидно, получили бы тождества. Следовательно, точно также получится тождество и въ результате подстановки этихъ значешй въ данное уравнеше. [13]
Ьнныхъ, п - 1 произвольныхъ постоянныхъ, задача приводится къ отыскашю п - 1 функщи FI... Fn - 1) предполагая, что выведенный изъ уравнетй ( 5) значетя PI... [14]