Cтраница 1
Серрин, как уже указывалось, обобщил задачу о-вихревой нити, допустив логифмическую особенность у на оси. [1]
В задаче Серрина, обобщающей задачу о взаимодействии вихря с плоскостью, правая часть ( 19) удовлетворяет перечисленным требованиям. Поэтому на границе существования решений ( см. рис. 11) логарифмическая особенность уступает место стоку на оси. При этом в критической ситуации циркуляция обращается в нуль всюду внутри области течения. Уравнение границы существования имеет вид l / 2 - p - Re 2А 15 2894, где Re Г ( 1), ар - параметр Серрина, связанный с логарифмической особенностью. [2]
Первым источник импульса на оси ввел Серрин [236] в задаче о взаимодействии вихря с плоскостью, допустив логарифмическую особенность на оси для продольной скорости. Закрученные течения рассмотрены в § 3, а здесь обсудим эту модель применительно к обобщению задачи Сквайра. [3]
Приведенные результаты объясняют трудности, с которыми столкнулся Серрин [236], пытаясь доказать теорему единственности: при р 1 единственности просто нет. В то же время для случая р 1 эта теорема доказана в разд. Здесь рассмотрено автомодельное решение уравнений Навье - Стокса, описывающее течение, вызванное линией источников или стоков в присутствии плоскости, перпендикулярной этой линии. Численным анализом установлено, что задача о стоках однозначно разрешима при всех числах Рей-нольдса. [4]
В отличие от задачи от вихревой нити в классе решений Серрина существуют двухъячеистые режимы с опускным движением па оси ( см. гл. Из сказанного следует, что за размыкание струи и возникновение обратного движения здесь ответственна не циркуляция ( как в закрученных струях), а именно дополнительно приложенная сила, действующая вдоль оси вниз. Для одпоячеистого восходящего режима Серрина сила действует вверх. Случай вихревой нити, разделяющий эти режимы, отвечает пулевой силе. [5]
В цитированной работе Серрина казалось непонятным, почему условия на уравнение достаточно задавать только на границе шара. Дини, как и просто равномерная непрерывность коэффициентов на границе, обеспечивает приводимость уравнения к кор-десовскому типу в некотором приграничном слое. [6]
Ладыженской и Уральцевой об оценке Гельдера производных решений эллиптических квазилинейных уравнений. После рассмотрения общих и выпуклых областей мы приводим обзор теории Серрина, которая связывает условия на обобщенную кривизну границы с разрешимостью задачи Дирихле. [7]
Значительное число работ посвящено попыткам преодоления парадокса. В [15] это сделано за счет замены уравнений Навье - Стокса другими уравнениями. В обширной работе Серрина [236] разрешимость при всех числах Рейнольдса достигается за счет отказа от условия ограниченности осевой скорости на оси вихря. При этом, однако, в задаче появляется свободный параметр р, который нельзя определить по данным задачи. Более того, при наличии на оси у продольной скорости логарифмической особенности движение не затухает даже при отсутствии циркуляции. [8]
В отличие от задачи от вихревой нити в классе решений Серрина существуют двухъячеистые режимы с опускным движением па оси ( см. гл. Из сказанного следует, что за размыкание струи и возникновение обратного движения здесь ответственна не циркуляция ( как в закрученных струях), а именно дополнительно приложенная сила, действующая вдоль оси вниз. Для одпоячеистого восходящего режима Серрина сила действует вверх. Случай вихревой нити, разделяющий эти режимы, отвечает пулевой силе. [9]
Интенсивные атмосферные вихри типа торнадо, пыльных и огненных смерчей привлекают внимание исследователей как весьма энергонасыщенные и разрушительные явления и как природные тепловые машины, создающие локализованное высокоскоростное движение сплошной среды. Этот парадокс не разрешается и в обобщенной задаче Серрина ( см. с. Разрешимость при любых значениях параметров достигается при замене вихревой нити конусом малого угла раствора. Такая регуляризация физически естественна, поскольку ядро смерча имеет конечные размеры. Если удельный момент импульса достаточно велик и поддерживается постоянным, то при изменении осевой силы имеет место гистерезис, и стационарный режим с диффузным вращением может скачком перейти в режим с вращением, сконцентрированным вблизи оси. При других значениях силы скачком происходит обратный переход. Эти свойства решения указывают на механизм внезапного возникновения и разрушения сильного смерча и на принципиальную возможность управления этим процессом. [10]
Здесь через Лт обозначена транспонированная матрица А, через tr - функция следа, Е - единичная матрица. Оператор SH известен в механике под названием девиатора тензора скоростей деформации, а равенство S. Лиувилля конформности F ( х, 0) ( см. Серрин [ 1, с. Свойства оператора S позволяют дать следующее определение ( см., например, Альфорс [7]), где через Л обозначена норма ( irA - A) 1 2 матрицы А. [11]
Круглая струя жидкости с осесимметричными свободными границами представляет собой исторический и уникальный пример безвихревого течения, поле скоростей которого было точно описано с помощью аналитических функций. В других случаях, в том числе и в случае осесимметричных трехмерных течений, не существует формул, аналогичных полученным в двумерной теории. Важный вклад в строгую математическую теорию трехмерных струй и каверн внесли Рябушинский [62], Гилбарг [29], Серрин [72, 73], Гарабедян, Леви и Шеффер [23] и др. Однако практический расчет осесимметричных свободных струйных течений по-прежнему основан на разнообразных приближенных методах. К ним относятся, например, два метода расчета полей течения и сил с помощью замены каверны телом, близким по форме к телу Рэн-кина, определяемому методами распределения источников - стоков [59, 89], а также релаксационные [53, 77] и электролитические [67] методы расчета осесимметричных течений. Гарабедян [22] предложил итерационный метод аппроксимации функции тока и использовал его для расчета поля кавитационного течения и сопротивления круглого диска по модели Рябушинского. В случае кавитационных течений для трехмерных аналогов двумерных тел получаются другие формы каверн. Однако распределения скоростей ( и следовательно, давления) на смоченной части эллипсов и сфероидов подобны. Поэтому для тел с затупленной носовой частью лобовое сопротивление определяется с достаточной точностью. Наоборот, результаты для клина и конуса с одинаковым углом при вершине различны. [12]
В задаче Серрина, обобщающей задачу о взаимодействии вихря с плоскостью, правая часть ( 19) удовлетворяет перечисленным требованиям. Поэтому на границе существования решений ( см. рис. 11) логарифмическая особенность уступает место стоку на оси. При этом в критической ситуации циркуляция обращается в нуль всюду внутри области течения. Уравнение границы существования имеет вид l / 2 - p - Re 2А 15 2894, где Re Г ( 1), ар - параметр Серрина, связанный с логарифмической особенностью. [13]
В этом случае решение существует при всех Re, no появляется новый параметр - коэффициент при логарифме. Но происходит иное - в результате неравномерности предельного перехода стирается граничное условие г / ( 1) 0, но предельная функция у ( х) у ( х) имеет ограниченную производную. Однако в силу соотношений ( 1) для поля скорости наличие стока на оси означает особенность для компоненты ie, более сильную, чем логарифмическая осббеиность по уг, характерная для класса Серрина. [14]
Прямой анализ устойчивости и ветвления весьма труден, поскольку исходное течение двумерно и осуществляется в бесконечной области, а возмущения не допускают автомодельного представления. Эксперименты свидетельствуют о том, что в сильных струях область турбулентного движения охватывает узкую приосевую зону и наблюдается достаточно резкая граница между турбулентной струей и внешним медленным и практически стационарным движением. В этом случае па оси допустимы ( если они неизбежны) особенности. Но тогда остается открытым вопрос о величине коэффициента при особенности. Серрин решает его путем дополнительной гипотезы физического характера. [15]