Cтраница 1
Сигнатура многообразия М определяется как сигнатура формы К. [1]
Если сигнатура многообразия 9Л содержит групповые операции, то конгруэнции любой алгебры из 9JI перестановочны. [2]
Теорема Дрнальдсона опирается на инвариантность сигнатуры многообразия относительно ориентированного кобордизма. [3]
Теория алгебраических комплексов Пуанкаре оказалось удобным инструментом для описания сигнатуры многообразия в случае непрерывных семейств локальных систем коэффициентов, поскольку, в отличие от групп ( ко) гомологии группы ( ко) цепей не меняют своей размерности при переходе от одной локальной системы коэффициентов к другой. Однако в любом случае для корректного построения сигнатуры требуется конечномерность соответствующих групп ( ко) цепей. [4]
Прежде чем сформулировать нашу следующую теорему, необходимо ввести понятие сигнатуры многообразия. [5]
Обобщенная формула Хирцебруха имеет так называемую гладкую версию, в которой вместо сигнатуры многообразия подставляется индекс оператора Хирцебруха на многообразии. Достоинство такой формулы заключается в том, что оператор Хирцебруха может действовать в сечениях произвольного векторного расслоения на многообразии. Поэтому естественно возник вопрос о перенесении гладкой версии формулы Хирцебруха на комбинаторный случай, с тем, чтобы эффективно построить инварианты типа сигнатуры с коэффициентами в произвольном ( неплоском) векторном расслоении. Хирцебруха сводится к классическим формулам. [6]
В классической топологии известны только два инварианта такого вида: эйлерова характеристика четномерных многообразий и сигнатура многообразий с границей размерности 4 / с. То, что сигнатура удовлетворяет этим аксиомам, следует из леммы аддитивности, доказанной Рохлиным и Новиковым С. П. в середине 1960 - х годов. В этих примерах пространства Ну одномерны и морфизмы состоят в умножении на ear ( - w где т - сигнатура или эйлерова характеристика. В настоящее время мы имеем много новых примеров, в которых размерности пространств Ну больше единицы, и они отвечают нетривиальным топологическим квантовым теориям поля. [7]
В случае односвязных многообразий еще Новиковым и Браудером на основании формулы Хирцебруха было доказано, что классическая сигнатура многообразия является гомотопическим инвариантом, что является следствием гомотопической инвариантности групп гомологии вместе с операциями пересечения. Более того, в односвязном случае на основании классификационных теорем, доказанных Новиковым и Браудером методом перестроек Морса, устанавливается, что гомотопически инвариантным рациональным характеристическим классом является только классическая сигнатура многообразия. Таким образом, в случае рациональных характеристических классов для односвязных многообразий задача о нахождении всех гомотопически инвариантных характеристических классов была полностью решена в классических работах 60 - х годов. [8]
Разность числа положительных и отрицательных квадратов указанной формы на группе Я М4; Z) называется сигнатурой многообразия. [9]
Кроме характеристических чисел имеется еще один интересный инвариант 5О - кобордизма для ориентируемых многообразий размерности 4k, называемый сигнатурой многообразия. [10]
Как было показано в работе EAHS ], индекс комплекса (3.22) равен ( Х) гДе % - эйлерова характеристика, а Т - сигнатура базового многообразия. Обозначим через - е размерность максимального подпространства, на котором форма пересечений со отрицательно определена. [11]
Эту теорему можно доказать непосредственно: для сохраняющей ориентацию гомотопической эквивалентности /: W - V и достаточно плоского расслоения Е над V можно непосредственно сравнить сигнатуры многообразий V и W с коэффициентами в расслоениях Е и f E и показать, что их индексы совпадают ( ср. [12]
Тогда сигнатура многообразия В равна нулю. [13]
В 1974 - 1975 гг. ( [48], [49]) А. С. Мищенко применил метод теории фредгольмовых представлений, позволивший ему установить гипотезу Новикова для широкого класса фундаментальных групп. Применение теории представлений в конечномерном случае приводит к формулам типа Хирцебруха для сигнатур многообразия в когомологиях с локальной системой коэффициентов в конечномерном векторном пространстве. Однако запас характеристических классов, которые можно получать с помощью конечномерных представлений, слишком беден, и для многих фундаментальных групп сводится только к классической сигнатуре. [14]
В частности, построенная формула дает новую конструкцию рациональных классов Понтрягина по локальной комбинаторной структуре на многообразии X. Пуанкаре совпадает с алгебраическим комплексом Пуанкаре из работы [46], а его сигнатура совпадает с сигнатурой многообразия в когомологиях с соответствующей локальной системой коэффициентов. Пуанкаре может быть получен из универсального алгебраического комплекса Пуанкаре над групповой алгеброй фундаментальной группы тг многообразия X путем замены колец. При этом сигнатура этого почти алгебраического комплекса Пуанкаре вычисляется как образ симметрической сигнатуры многообразия X при замене колец. [15]