Cтраница 1
Стохастический синхронизм в момент бифуркации, изображенной на рис. 7.112, порождает в кольце точечное отображение вида, изображенного на рис. 7.48, и поэтому не может перейти в обычный синхронизм. Это же относится к отображению кольца, частично изображенному на рис. 7.114. Именно, если к отображению кольца в себя, фрагмент которого представлен на рис. 7.114, добавить малое вращение кольца, как это показано стрелкой В на рис. 7.116, то придем к точечному отображению вида рис. 7.48. Это отображение будет удовлетворять требуемому существованию области а, указанным образом пересекающейся со своим отображением ст. Поэтому дальнейшее изменение рис. 7.114 не может сохранить обычный синхронизм и приводит к его стохастизации. [1]
При смене взаимного расположения сепаратрис может произойти возникновение стохастического синхронизма. Эта бифуркация в суженном виде будет в дальнейшем рассмотрена отдельно. Сейчас же ограничимся ее изображением па рис. 7.110. На рис. 7.110 изображены последовательные стадии перехода через общие бифуркации от обычного синхронизма к стохастическому. При переходе от рис. а к б происходит смена узла на фокус. Затем ( рис. 7.110, в) фокус меняет устойчивость, и от него рождается устойчивый предельный цикл. [2]
Выбранный выше специальный путь был удобен тем, что он позволил увидеть структуру возникающего нового установившегося движения, но поскольку множество стохастических синхронизмов образует в пространстве параметров область, то переход от обычного синхронизма к стохастическому возможен и общим образом. [3]
Выбранный выше специальный способ возмущений показывает возможность перехода от тороидального интегрального многообразия с каким-то синхронизмом на нем к движению, названному стохастическим синхронизмом. [4]
Итак, речь идет о том, каким образом осуществляется общий переход от картинки рис. 7.102, где изображен обычный синхронизм, к картинке рис. 7.100 с изображением стохастического синхронизма. [5]
С непрерывным изменением параметра ц от нуля в окрестности каждой кривой на секущем цилиндре 6 0, отвечающей синхронизмам Грд, возникает г синхронизмов Ги, отвечающих 2г циклам р-кратных неподвижных точек, г из которых - типа центр и г - типа седло. Он несколько упрощен, нескольку на самом деле, как правило, кривые S и S - пересекаются, образуя гомокли-ническую структуру, ранее названную стохастическим синхронизмом. На рис. 7.33 упрощенно представлены и окрестности неподвижных точек типа центр, о чем ниже будет сказано. [6]
Затем он трансформируется в стохастический синхронизм. При этом область притяжения предельного цикла последовательно будет переходить в область притяжения обычного и стохастического синхронизмов и затем по пересечению границы р - 0 в область притяжения какого-то нового установившегося движения. Структура разбиения плоскости параметров К, л в окрестности точки А ц, 0 очень сложная. Достаточно заметить, что при монотонном изменении Я в сторону возрастания вдоль оси j, 0 число вращения у монотонно убывает от значения) у оо. [7]
Затем он трансформируется в стохастический синхронизм. При этом область притяжения предельного цикла последовательно будет переходить в область притяжения обычного и стохастического синхронизмов и затем по пересечению границы р - 0 в область притяжения какого-то нового установившегося движения. Структура разбиения плоскости параметров X, [ А в окрестности точки А, - [ i - 0 очень сложная. Достаточно заметить, что при монотонном изменении К в сторону возрастания вдоль оси л 0 число вращения у монотонно убывает от значения) у оо. Сказанное основывается на предположении об общем характере бифуркаций и полученных ранее сведениях о точечном отображении. [8]
Вернемся к рис. 7.112, 7.113 н 7.114. 7.113 соответствует обычному синхронизму, расположенпому на гладкой тороидальной поверхности в момент его бифуркаций. При непрерывном изменении параметров существование этой гладкой инвариантной поверхности может нарушиться либо благодаря потере ею устойчивости, либо благодаря разрушению гладкости. Эти бифуркации непосредственно не связаны с теми изменениями, которые рассматриваются, и поэтому, если они не имеют места, то смена синхронизмов происходит, как было описано выше, на сохраняющем свою устойчивость и гладкость двумерном торе. Стохастический синхронизм в момент бифуркации, изображенной на рис. 7.112, порождает в кольце точечное отображение вида, изображенного на рис. 7.48, и поэтому не может перейти в обычный синхронизм. [9]
Пусть со не меняется и не происходит бифуркаций слияния неподвижных точек. При этом седло-вые точки должны оставаться седловыми. А узлы могут переходить в фокусы и обратно. Фокус может сменить устойчивость, и при этом от него отделится либо обычный, либо стохастический синхронизм. При смене взаимного расположения сепаратрис может произойти возникновение стохастического синхронизма. Эта бифуркация в суженном виде будет в дальнейшем рассмотрена отдельно. [10]
Пусть со не меняется и не происходит бифуркаций слияния неподвижных точек. При этом седло-вые точки должны оставаться седловыми. А узлы могут переходить в фокусы и обратно. Фокус может сменить устойчивость, и при этом от него отделится либо обычный, либо стохастический синхронизм. При смене взаимного расположения сепаратрис может произойти возникновение стохастического синхронизма. Эта бифуркация в суженном виде будет в дальнейшем рассмотрена отдельно. [11]
Последующее изложение разбито на пять параграфов. Чтение их предполагает большую подготовленность, чем предыдущие главы. Последующее чтение предполагает лишь общее знакомство с содержанием устанавливаемых в нем фактов, а не с самой техникой исследования и доказательства. В § 5 рассматриваются новые для теории колебаний вопросы самогенерации динамической системы стохастических колебаний. Описываются возможные механизмы возникновения стохастичности в динамических системах. Обнаруживается связь между стохастическими колебаниями и гомоклиническими структурами, открытыми еще Пуанкаре. На примерах трехмерных неавтономных систем, близких к двумерным автономным системам, описываются бифуркации, приводящие к стохастизации колебаний. Обнаруживается возможность стохастического синхронизма и выясняются бифуркации, которые приводят к его возникновению. [12]