Cтраница 1
Система открытых множеств, вообще говоря, не является полукольцом. Множества, дополнительные к открытым множествам топологического пространства X, называются замкнутыми. Объединение конечного числа и пересечение любого числа замкнутых множеств снова являются замкнутыми множествами. Каждая отдельная точка пространства X является одноточечным замкнутым множеством. [1]
Система открытых множеств Ua топологического пространства X называется открытым покрытием, если X ( Ja Ua. [2]
Для того чтобы система открытых множеств S топологического пространства R была базисом, необходимо и достаточно, чтобы для каждого открытого множества ОС R и всякой точки a. Каждое ли топологическое пространство имеет базис. [3]
Взяв в Т некоторую систему открытых множеств, обладающую свойствами 1) и 2), и приняв ее за базу, мы очевидно получили в Т топологию т (), или совпадающую с исходной топологией т, или более слабую. [4]
Итак, задать в пространстве X топологию означает задать систему открытых множеств. Однако оказывается, что достаточно указать лишь некоторую совокупность открытых множеств. [5]
Все окрестности и все их объединения ( конечные и бесконечные) образуют систему открытых множеств. Отсюда легко получить, что объединение открытых множеств в любом числе и пересечение в конечном числе снова суть открытые множества. [6]
Как мы видели, задать в пространстве Т топологию-это значит задать в нем систему открытых множеств. Так, например, в метрическом пространстве мы ввели сначала понятие открытого шара ( е-окрестности), а затем определили открытые множества как такие, в которых каждая точка содержится вместе с некоторой своей шаровой окрестностью. В частности, на прямой открыты множества, представимые в виде сумм интервалов, и только они. Эти соображения приводят нас к важному понятию базы топологи-ческого пространства. [7]
Как мы видели, задать в пространстве Т топологию-это значит задать в нем систему открытых множеств. Так, например, в метрическом пространстве мы ввели сначала понятие открытого шара ( е-окрестности), а затем определили открытые множества как такие, в которых каждая точка содержится вместе с некоторой своей шаровой окрестностью. В частности, на прямой открыты множества, представимые в виде сумм интервалов, и только они. Эти соображения приводят нас к важному понятию базы топологического пространства. [8]
Положим Д / ( Х), и пусть G ( eS) - система открытых множеств, покрывающая А. [9]
Ясно, что система открытых множеств - UX образует открытое покрытие подмножества А, но поскольку X обладает счетной базой, то, но теореме Лнпделефа, найдется не более чем счетная подсистема ( Л, системы UX, которая тоже образует покрытие подмножества А. Совершенно так же убеждаемся, что существует не более чем счетная система открытых окрестностей У, таких, что V. A - - 0, между тем как их объединение содержит подмножество В. [10]
Мы разделяем многообразие Q на систему исходных открытых множеств %, а затем вновь склеиваем их несколько по-другому. [11]
Таким образом, класс регулярных пространств разбивается на дизъюнктные ( попарно непересекающиеся) классы соабсолютных пространств. Пространство X соабсолютно с некоторым метрическим пространством тогда и только тогда, когда оно является паракомпакт-ным перистым пространством и в нем существует плотная а-дискретная система открытых множеств. Бикомпакт соабсолютен с нек-рым компактом в том и только том случае, когда он имеет счетный я-вес. Если бикомпакт имеет счетный я-вес и не имеет изолированных точек ( и только в этом случае), то он соабсолютен с кан-торовым совершенным множеством. Следовательно, все компакты без изолированных точек соабсолютны с канторовым совершенным множеством. [12]
Определения 7, 8, 1 и 8 остаются справедливыми и в том случае, когда исходное пространство есть линейное топологическое пространство ЬТ. Естественно, что исходная топология в пространстве LT задается уже некоторой системой открытых множеств, а не нормой пространства. Заметим еще, что слабая топология пространства LT уже не обязана удовлетворять хаусдорфовой аксиоме отделимости. [13]
Следовательно, R с топологией т оказывается топологическим кольцом. Ясно, что 20 - база окрестностей нуля в этой топологии, а Se - база окрестностей элемента а. Ввиду предложения 4, из совпадения баз окрестностей элементов в топологиях т и т вытекает совпадение их систем открытых множеств, что, в силу предложения 1, влечет совпадение самих топологий. [14]