Cтраница 3
Мы пришли к осознанию того, что отдельные предложения классической математики в большинстве случаев имеют так же мало смысла, как и утверждения физики. Тем самым возникла необходимость изменить математику, превратив ее из системы предложений, имеющих смысл, в игру формул, проводимую по некоторым правилам. Формулы состоят из определенных четко различимых символов, столь же конкретных, что и фигуры на шахматной доске. Интуитивное рассуждение требуется и используется только для установления непротиворечивости игры - задачи, решенной к настоящему времени лишь частично; в полном ее решении мы можем не преуспеть никогда. Существенно также, что символы должны быть воспроизводимы, где бы и когда бы это ни потребовалось. [31]
Чтобы выразить их явно, необходим второй шаг, который дополняет предыдущий для так называемых технических терминов по отношению к неграмматической стороне их значений. Все значения всех слов исключены из рассмотрения, и все условия, регулирующие употребление этих слов в теории, явно высказаны. Логические принципы, прежде входившие неявно через значение обычных терминов, теперь будут введены в действие-отчасти, может быть, при помощи новых аксиом, но во всяком случае, хотя бы частично, посредством правил, позволяющих вывести одну фразу из другой или других. Так как мы полностью абстрагировались от содержания или сущности, сохранив только форму, то мы будем говорить, что данная теория формализована. Будучи формализованной, теория по своей структуре является уже не системой осмысленных предложений, а системой фраз, рассматриваемых как последовательность слов, которые, в свою очередь, являются последовательностями букв. Только по форме будем мы судить о том, какие сочетания слов являются фразами, какие фразы-аксиомами и когда фразы вытекают в качестве непосредственных следствий из других. [32]
Свою первую, написанную еще в студенческие годы, работу по математической логике А. И. Мальцев [1 ] посвятил доказательству двух теорем, обобщавших результаты Геделя и Сколема. Вторая его привлекала именно потому, что непосредственно допускала алгебраическое истолкование: он из нее сделал заключение, что всякое бесконечное алгебраическое тело имеет расширения. Теорема, о которой идет речь, гласит, что если выполнима всякая конечная часть некоторой бесконечной системы предложений, допускающих выражение средствами узкого исчисления предикатов, то выполнимой является и вся система. А имеет место и для всей области-могут быть получены из этого предложения как непосредственные следствия. Для доказательства их достаточно убедиться в том, что утверждение о справедливости свойства А для какой-нибудь области может быть записано в виде системы предложений, содержащих - кроме знаков для индивидуальных предикатов и индивидуальных предметов и знака равенства - логические связки и, или, если... Такой общий подход к локальным теоремам не только позволил А. И. Мальцеву получить сразу ряд теорем, доказанных ранее весьма частными приемами ( в том числе; например, теорему Шура о том, что всякая периодическая группа матриц над полем характеристики нуль содержит абелев нормальный делитель конечного индекса), но и непосредственно усмотреть, что некоторые из них имеют место и в более широких условиях. Так, в доказательстве по методу А. И. Мальцева теоремы Черникова: если всякая подгруппа локально-конечной группы g имеет силовское множество, то силовскую систему имеет и сама группа g - локальная конечность нигде не используется. Для доказанного первоначально Бэром только для счетных групп предложения о расширении структурного изоморфизма Л. Е. Садовским было указано впоследствии доказательство, годное и для несчетных групп. По методу А. И. Мальцева предложение Бэра доказывается сразу, буквально в несколько строк, в самых общих предположениях. [33]
Многие не могли произвести простых арифметических вычислений, а кое-кто просто неграмотен. По программам обучения методам контроля качества рабочим предписывается чертить диаграммы и рисунки. На Мацусите для неграмотных рабочих внедрена система подачи новаторских предложений в устной форме: они передают свои предложения устно мастеру, который записывает их в рапортичку. На фирме Санье Электронике на первом этапе внедрения участвуют только мастера, постепенно вовлекаются все рабочие. Другой трудностью внедрения системы новаторских предложений за рубежом было обилие жалоб, которые на первый взгляд не имели отношения к повышению производительности и качества: На заводе слишком жарко - установите кондиционеры или Питание в столовой низкого качества и слишком дорогое. Управляющий на фирме Мацусита говорит: Если бы на эти жалобы не обращали внимания, прекратилась бы подача и новаторских предложений. [34]
Центральном научно-исследовательском и проектно-технологическом институте организации и техники управления ( Минск) систему кодирования и построения информационного языка для описания исходной информации при технологическом проектировании. Он дает описание системы кодирования различных классов исходной информации. Им рассмотрены основные вопросы построения информационного языка для описания информации, содержащейся в чертежах деталей. В качестве первичных, базовых единиц языка принята классификация элементарных обрабатываемых поверхностей ( ЭОП) и таблица базовых отношений, определяющая характер топологических связей поверхностей в конфигурации деталей. Конфигурация деталей в целом записывается в виде технологического уравнения, содержащего ЭОП и связывающие их отношения. Рассмотрены два способа представления информации о детали: табличный и в виде системы предложений, каждое из которых содержит информацию об одной ЭОП. [35]
Если только историческое событие, состоящее в том, что кочму-то удалось построить ( натуральное) число п с данным свойством Р, может дать право утверждать, что существует число с этим свойством, то альтернатива: или существует такое число, или все числа обладают противоположным свойством не - Р - не имеет под собой основания. Так как кванторы существует и все при обра - зовании математических утверждений нагромождаются друг на друга самыми разнообразными способами, брауэрова критика делает - почти все эти предложения бессмысленными, и. Брауэр - принялся за построение новой математики / которая не использует этого логического принципа. Я думаю, что критику Брауэра должен принять каждый, кто хочет придерживаться веры в то, что математические утверждения со держат нечто абсолютно достоверное-истину, основанную на очевидности. Оппонент Брауэра Гильберт во всяком случае молчаливо принял ее. Он пытался спасти классическую математику, превратив ее из системы осмысленных предложений в игру лишенных смысла формул и показав, что эта игра никогда не ведет к двум формулам1 F и не - / 7, которые несовместимы. [36]