Cтраница 1
Система комплексных чисел, рассматриваемая как алгебра над полем действительных чисел, имеет своим базисом числа 1 и г. Но пары чисел 2 иЗгг 1 и а Ы ( а, Ъ - действительные, Ъ Ф 0) также могут служить базисами. [1]
В отличие от системы комплексных чисел, которая получается в результате нового расширения понятия числа. [2]
Покажем, что система комплексных чисел является расширением системы действительных чисел. [3]
Гамильтон долго искал систему комплексных чисел, допускающую пространственную интерпретацию. [4]
Эта система чисел называется системой комплексных чисел. [5]
В заключение заметим, что проведенное нами построение системы комплексных чисел подсказывает следующий вопрос: нельзя ли тик определить сложение и умножение точек трехмерного пространства, чтобы совокупность этих точек стала системой чисел, содержащей в себе систему комплексных чисел или хотя бы систему действительных чисел. Этот вопрос выходит за рамки нашего курса, и мы лишь отметим, что ответ на него оказывается отрицательным. [6]
Наконец, в самом конце курса элементарной алгебры система действптельпых чисел расширяется до системы комплексных чисел. В настоящей главе будет еще раз с необходимой полнотой изложена теория комплексных чисел. [7]
Таким образом, множество точек, лежащих на оси абсцисс, рассматриваемое как часть системы комплексных чисел, по своим алгебраическим свойствам ничем не отличается от системы действительных чисел, обычным способом изображенной точками прямой, линии. [8]
Мы можем поэтому отождествить ( а, 0) с а; это отождествление превращает множество всех вещественных чисел в подмножество системы комплексных чисел. [9]
Все эти общие рассуждения мы теперь проследим на кватернионах, которые ввиду их применений в физике и механике представляют, несомненно, самую важную систему высших комплексных чисел. В частном случае они вырождаются в трехчленные векторы; последние стали теперь общеизвестными, и о них, вероятно, при случае упоминают и в школе. [10]
В заключение заметим, что проведенное нами построение системы комплексных чисел подсказывает следующий вопрос: нельзя ли тик определить сложение и умножение точек трехмерного пространства, чтобы совокупность этих точек стала системой чисел, содержащей в себе систему комплексных чисел или хотя бы систему действительных чисел. Этот вопрос выходит за рамки нашего курса, и мы лишь отметим, что ответ на него оказывается отрицательным. [11]
Другими словами, в поле возможно деление на элементы, отличные от нуля. В определении поля подчеркнуто то общее, что объединяет системы рациональных, вещественных и комплексных чисел. Если в определении поля не предполагать коммутативность умножения, то приходим к понятию тела. [12]
Уже Study в своей работе Uber Systeme von complexen Zahlen ( О системах комплексных чисел), Gottinger Nachrichten, 1889, указал на то, что многие из выведенных в связи с этим результатов только своей формулировкой отличаются от известных теорем теории линейных преобразований. [13]
В заключение главы строится другая геометрическая интерпретация этих систем чисел на поверхностях второго порядка. Интерпретация получается из предыдущей с помощью стереографической проекции плоскости на поверхность второго порядка, при которой инвариантные прямые плоскостей соответствуют плоским образующим поверхности второго порядка. При этом система гиперболических комплексных чисел изображается овальной поверхностью, система эллиптических комплексных чисел - линейчатой поверхностью, а система параболических комплексных чисел - конусом. [14]
Вильям Кингдон Клиффорд, который умер в 1879 г. на тридцать четвертом году жизни, преподавал в колледже Троицы ( Тринити-колледж) в Кембридже и в Университетском колледже в Лондоне. Он был одним из первых англичан, понявших Римана и разделявших его глубокий интерес к происхождению наших пространственных представлений. Это были кватернионы с коэффициентами, взятыми из системы комплексных чисел а Ье, где е2 может быть 1, - 1 или 0; их можно использовать и для изучения движения в неевклидовых пространствах. Книга Клиффорда Здравый смысл в точных науках ( Common Sense in the Exact Sciences) п сейчас еще хороша; в ней видно родство его мышления и мышления Феликса Клейна. На это родство указывает п термин пространства Клиффорда - Клейна, обозначающий некоторые замкнутые евклидовы многообразия в неевклидовой геометрии. [15]